Enunciado

Dados o plano π : x + y + z = 0 e a reta s :   x - 1 2 = y - 2 1 = z - 1 - 2 , escreva equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P   =   ( 3,1 , - 1 ) , é paralela ao plano π e concorrente com a reta s . Quais são as coordenadas do ponto Q de concorrência?

Passo 1

Ok, pessoal. A reta que queremos pode ser escrita como

r : x = l λ + x 0 ,   y = m λ + y 0 ,   z = n λ + z 0

Já sabemos que essa reta passa no ponto P   =   ( 3,1 , - 1 ) , então ficamos com

r : x = l λ + 3 ,   y = m λ + 1 ,   z = n λ - 1

Agora temos que determinar o vetor diretor v → r = ( l , m , n ) . Como essa reta é paralela ao plano π , então seu vetor diretor v → r deve ser ortogonal ao vetor normal do plano n → = ( 1,1 , 1 ) :

n → ⋅ v → r = 0 ⇒ ( l , m , n ) ⋅ ( 1,1 , 1 ) = 0 ⇒ l + m + n = 0 .

Passo 2

Sabemos que a reta r é concorrente a reta

s :   x - 1 2 = y - 2 1 = z - 1 - 2 = γ ⇒ x = 1 + 2 γ ,   y = 2 + γ ,   z = 1 - 2 γ

Então, eles devem se encontrar num determinado ponto Q . Nesse ponto, as coordenadas das duas retas são iguais:

x = 1 + 2 γ = l λ + 3

y = 2 + γ = m λ + 1

z = 1 - 2 γ = n λ - 1

Vamos somar essas três equações:

4 + γ = ( l + m + n ) λ + 3 ⇒ 4 + γ = 3 ⇒ γ = - 1

onde usamos l + m + n = 0 . Sabendo que γ = - 1 , podemos substituir esse valor na equação da reta s e encontrar o ponto Q :

Q = ( 1 + 2 γ ,   2 + γ ,   1 - 2 γ ) = ( 1 - 2 ,   2 - 1 ,   1 + 2 ) = ( - 1,1 , 3 )

Passo 3

Ainda precisamos descobrir o vetor diretor da reta r . Mas calma que falta pouco. Sabemos que essa reta passa pelos pontos P   =   ( 3,1 , - 1 ) e Q = ( - 1,1 , 3 ) . Então, temos o vetor

P Q → = Q - P = ( - 1,1 , 3 ) - ( 3,1 , - 1 ) = ( - 4,0 , 4 )

que deve ser proporcional ao vetor diretor

v → r = α ( - 4,0 , 4 )

Se escolhermos α = 1 , então teremos

r : x = - 4 λ + 3 ,   y = 1 ,   z = 4 λ - 1

O resultado não está exatamente igual ao livro, mas calma. A equação simétrica então pode ser escrita como

x - 3 - 4 = z + 1 4 = λ

Podemos multiplicar ambos os lados por - 4

x - 3 = - z - 1 = - 4 λ

e somar com 2 em ambos os lados

x - 1 = - z + 1 = - 4 λ + 2 ≡ λ '

Assim, vemos que a reta que obtivemos é totalmente equivalente a ( y = 1 não se altera):

r ' : x = λ ' + 1 ,   y = 1 ,   z = - λ ' + 1 .

Resposta

Q = ( - 1,1 , 3 )

r : x = λ + 1 ,   y = 1 ,   z = 1 - λ

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Problemas 25 a 30 , obter uma equação geral do plano:30) Que contenha o ponto A ( 1 ,- 2 ,1 ) e o eixo x .
Determine as coordenadas do vetor diretor da reta de intersecção dos planos x + y + z = 1 e x + z = 0
Use as intersecções com os eixos coordenados como uma ajuda para esboçar o plano. 3 x + y + 2 z = 6
Dados A = 3 , - 1 , 2eB = ( 4 , - 2 , - 1 ) , determine uma equação cartesiana do plano que passa por A e é perpendicular ao segmento
O ponto A = ( 4,2 , - 1 ) é o pé da perpendicular baixada de B = ( 1,1 , 1 ) ao plano π . (a) Escreva uma equação de π . (b) Ache as coordenadas do ponto simétrico de B em relação ao plano π . (c) Esc