Enunciado

      x   +   y - z   +   4 = 0

x   + 2 y   -   4 z   + 9   =   0

são as equações de dois planos. Explique porque os planos não são paralelos e escreva, na forma paramétrica, equações da reta interseção desses planos.

Passo 1

Fala, galerinha! Uma das formas de analisarmos a relação entre os dois planos, dados na questão, é analisando a relação entre o vetor normal de cada plano. Para isso, vamos descobri-los.

Para quem não lembra, o vetor normal de um plano é n →   =   ( a , b , c ) . Daí, temos

π :   x   +   y - z   +   4 = 0   ⇒   n π → = ( 1,1 , - 1 )  

η :   x   + 2 y   -   4 z   + 9   =   0   ⇒   n η →   =   ( 1,2 , - 4 )

Agora, analisaremos o produto interno entre n π → e n η → :

n π → ⋅ n η →   =   ( 1,1 , - 1 ) ⋅ ( 1,2 , - 4 )   =   1   +   2   +   4   =   7     ≠   0  

mostrando que não são ortogonais entre si.

Para completar a análise, faremos n π → =   α n η →   para saber se existe um α possível e que nos dê que os planos são paralelos entre si. Vamos lá:

( 1,1 , - 1 )   =   α ( 1,2 , - 4 )     ⇒   1   = α ;   1   =   2 α ;   - 1   =   - 4 α  

como podemos ver, não existe um α possível. Logo, os planos não são paralelos entre si. Eles apenas se interceptam formando um ângulo entre eles.

Passo 2

Como a reta r que buscamos está contida no plano π e no plano η , o seu vetor diretor v r → será ortogonal a n π → e a n η →   . Então, podemos usar a notação do livro para acharmos o vetor n π →   ∧ n η → que será paralelo a v r → . Então, vamos lá

= ( - 4 + 2 ) i ^ - ( - 4 + 1 ) j ^ + ( 2 - 1 ) k ^

= - 2 i ^ + 3 j ^ + k ^

Daí, v r →   = ( - 2,3 , 1 )   e nos fornecerá as seguintes equações paramétricas:

        ⎧   x   =   x 0 - 2 t

r     ⎢   y   =   y 0 + 3 t

        ⎩   z   = z 0   + t

Para, finalizar, vamos procurar os valores de x 0 , y 0 e z 0   . Para isso, vamos buscar um ponto que é comum nos dois planos. Para isso, tomaremos z = 0   . Daí, vem que:

π ' :   x   +   y   +   4 = 0    

η ' :   x   + 2 y   + 9   =   0

Fazendo π '   - η '   , temos:

x   +   y   +   4   - ( x   + 2 y   + 9   )   =   0   ⇒   - y   - 5   =   0   ⇒ y   = -   5

Substituindo o resultado y   = -   5 em π ' ,

x   - 5   +   4 = 0   ⇒   x   =   1

Então o ponto será ( 1 , - 5,0 ) . Portanto,

        ⎧   x   =   1 - 2 t

r     ⎢   y   =   - 5 + 3 t

        ⎩   z   = t

Resposta

x   =   1 - 2 t

y   =   - 5 + 3 t

z   =   t  

Exercícios de Livros Relacionados

Os planos α e β são perpendiculares e se cortam na reta x - 2 3 = y - 1 1 = z . Uma equação de α é : a x + y - 4 z + d = 0 (a)Determine a e d . (b)Dê uma equação de β
Encontrar a equação do plano que passa pelos pontos P = (1, 0, 0) e Q = (1, 0, 1) e é perpendicular ao plano y = z.
Encontre a equação do plano que passa pelo ponto P = (2, 1, 0) e é perpendicular aos planos x + 2 y - 3 z + 2 = 0e2 x - y + 4 z - 1 = 0 .
Quais dos seguintes pares de plano se cortam segundo uma reta?x + 2y – 3z – 4 = 0 e x – 4y + 2z + 1 = 0
Mostre que os planos 2x – y +z = 0 e x + 2y – z = 1 se interceptam segundo uma reta r