Enunciado

Dados os pontos A - 1 ,   0 ,   5 , B 2 ,   - 1 ,   4 e C 1 ,   1 ,   1 , determinar x tal que A C → e B P → sejam ortogonais, sendo P x ,   0 ,   x - 3 .

Passo 1

Então galera, de acordo com o que estudamos no capítulo em questão do Winterle, temos que o produto escalar entre dois vetores é dado da seguinte forma:

u → ∙ v → = u → ∙ v → cos ⁡ θ

No qual cos ⁡ θ é o ângulo entre os dois vetores. Quando os vetores são ortogonais, isso significa que o ângulo entre eles é de 90 ° e cos ⁡ 90 ° = 0 , então temos o seguinte:

u → ∙ v → = 0

Show! No nosso caso, a questão diz que A C → e B P → são ortogonais, então teremos isso aqui ó:

A C → ∙ B P → = 0

E para escrevermos esses vetores em termos de pontos, que é o que a questão nos fornece, basta fazermos:

C - A ∙ P - B = 0

Caso não tenha ficado claro esse último passo, uma sugestão é dar uma lida rápididinha no capítulo 1 do Winterle, beleza? Como a questão nos cede todos esses pontos, então basta substituirmos cada coisa no seu lugar e ir manipulando para ver no que chegamos, ok? Bora que bora!

Passo 2

Temos que:

A - 1 ,   0 ,   5

B 2 ,   - 1 ,   4

C 1 ,   1 ,   1

P x ,   0 ,   x - 3

Substituindo, teremos:

1 ,   1 ,   1 - - 1 ,   0 ,   5 ∙ x ,   0 ,   x - 3 - 2 ,   - 1 ,   4 = 0

1 + 1 ,   1 - 0 ,   1 - 5 ∙ x - 2 ,   0 + 1 ,   x - 3 - 4 = 0

2 ,   1 ,   - 4 ∙ x - 2 ,   1 ,   x - 7 = 0

Show!

Passo 3

Agora que simplificamos tudo, então finalmente temos que realizar o produto escalar, isto é, multiplicar componente por componente, saca só:

2 . x - 2 + 1.1 - 4 . x - 7 = 0

2 x - 4 + 1 - 4 x + 28 = 0

- 2 x + 25 = 0

Isolando x :

x = 25 2

E esse é o valor de x que queríamos encontrar!

Resposta

x = 25 2

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