Enunciado

Dados os pontos distintos F 1 e F 2 e a reta t , prove que uma condição necessária e suficiente para que t seja tangente a alguma elipse de focos F 1 e F 2 é que esta reta não separe F 1 e F 2 .

Passo 1

Seja a elipse

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

A equação da reta tangente à elipse no ponto h ,   k é:

x h a 2 + y k b 2 = 1

Passo 2

Considere então a função:

f x , y = x h a 2 + y k b 2 - 1

Sabemos que a reta não separa dos pontos P 1 = x 1 ,   y 1 e P 2 = x 2 ,   y 2 quando

f x 1 ,   y 1   ⋅ f x 2 ,   y 2 > 0

Passo 3

Notemos que

f - c , 0 = - c h a 2 - 1 = - c h + a 2 a 2

f c , 0 = c h a 2 - 1 = c h - a 2 a 2

Passo 4

Logo,

f - c , 0 ⋅ f c , 0 = - c 2 h 2 - a 4 a 4 = a 4 - c 2 h 2 a 4

Porém, notemos que:

  1. a 2 > c 2 (pois a 2 = b 2 + c 2 e b ≠ 0 );
  2. a 2 > h 2 (lembre-se que a elipse é limitada em - a ≤ x ≤ a , - b ≤ y ≤ b ).

Portanto, multiplicando essas desigualdades, segue que a 4 > c 2 h 2 ∴ a 4 - c 2 h 2 > 0 . Logo,

f - c , 0 ⋅ f c , 0 > 0

o que mostra que a reta tangente não deve, necessariamente, separar F 1 e F 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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