Enunciado

Obtenha uma equação geral do plano que contém a origem O = 0,0 , 0 e forma ângulos de 60° com a reta r : X = 1,1 , 1 + λ 0,1 , - 1 e com o plano π : x - y + 4 = 0 .

Passo 1

  1. Vetor diretor de r : 0,1 , - 1 ;
  2. Vetor diretor de π : 1 , - 1,0 .

Seja o plano que procuramos π 1 : x + a y + b z = 0 (note que π 1 passa por 0,0 , 0 ). Nosso objetivo é conhecer a e b .

Passo 2

Como π 1 faz 60° com r :

sin ⁡ 60 ° = 1 , a , b ⋅ 0,1 , - 1 1 2 + a 2 + b 2 ⋅ 2 ⟹ 3 2 = a - b 1 + a 2 + b 2 ⋅ 2

Elevando ao quadrado

3 1 + a 2 + b 2 = 2 a - b 2 ⟹ a 2 + 4 a b + b 2 + 3 = 0

Passo 3

Como π 1 faz 60° com π :

cos ⁡ 60 ° = 1 , a , b ⋅ 1 , - 1,0 1 2 + a 2 + b 2 2 = 1 2 ∴ 1 - a 1 + a 2 + b 2 2 = 1 2

Elevando ao quadrado e simplificando, chegamos a

a 2 - 4 a - b 2 + 1 = 0

Passo 4

Devemos resolver o sistema:

a 2 + 4 a b + b 2 + 3 = 0 a 2 - 4 a - b 2 + 1 = 0

Porém, tal sistema não é nada fácil de ser resolvido! Nos resta colocar em um sistema algébrico computacional, como o Wolfram que nos dá os seguintes resultados (aproximados):

a = - 1,02984 b = 2,485957       ;         a = 4,18454 b = - 1,33124

Observação: provavelmente há um erro no enunciado da questão. A julgar pela resposta, ele queria um ângulo de 30° com a reta r.

Na figura abaixo está representado o plano

x - 1,02984 y + 2,485957 z = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule a medida angular entre os planos π 1 e π 2 .a) π 1 : 2 x + y - z - 1 = 0π 2 : x - y + 3 z - 10 = 0
Calcule a medida angular entre os planos π 1 e π 2 .c) π 1 : X = 0 ,0 ,0 + λ 1 ,0 ,0 + μ 1 ,1 ,1 π 2 : X = 1 ,0 ,0 + λ - 1 ,2 ,0 + μ ( 0 ,1 ,0 )
Calcule a medida angular entre os planos π 1 e π 2 .b) π 1 : X = 1 ,0 ,0 + λ 1 ,0 ,1 + μ - 1 ,0 ,0 π 2 : x + y + z = 0
Seja π1 o plano que passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1), C = (1, 1, 0) e π2 o plano que passa pelos pontos P = (0, 0, 1) e Q = (0, 0, 0) é paralelo ao vetor ́ i +j. Ache o ângulo entre π1
Encontrar o ângulo entre o plano 2ˆx − y + z = 0 e o plano que passa pelo ponto P = (1, 2, 3) e e perpendicular ao vetor i − 2j +k.