Enunciado

Dados u → ,   v → e w → , sejam E = u → , v → , w → e F = u → ∧ v → ,   v → ∧ w → ,   w → ∧ u → . Prove que

(d) se E é base, então F é positiva. (Qual é, neste caso, o determinante de M E F ?)

Passo 1

Bora lá!

Para sabermos se um tripla de vetores é base positiva, nós devemos estudar o sinal do produto misto dos vetores dessa tripla. Vamos analisar F = u → ∧ v → ,   v → ∧ w → ,   w → ∧ u → , certo? Logo precisamos descobrir o valor de:

[ u → ∧ v → ,   v → ∧ w → ,   w → ∧ u → ]

Passo 2

Assim, como já foi feito nos itens anteriores, vamos usar a definição de produto misto e a fórmula do duplo produto vetorial.

Começando pela definição de produto misto, temos:

u → ∧ v → ,   v → ∧ w → ,   w → ∧ u → = u → ∧ v → ∧ v → ∧ w → . w → ∧ u →                     ( 1 )

Já pela fórmula do duplo produto vetorial:

u → ∧ v → ∧ v → ∧ w → = - v → . v → ∧ w → . u → + u → . v → ∧ w → . v →

                                            = - 0 . u → + u → ∧ v → . w → . v →

                                                                                                                                      = [ u → , v → , w →   ] . v →                                                                         ( 2 )                                          

Passo 3

Substituindo (2) em (1), temos:

u → ∧ v → ,   v → ∧ w → ,   w → ∧ u → = u → ∧ v → ∧ v → ∧ w → . w → ∧ u →

                                                            = u → , v → , w → . v → . w → ∧ u →

                                                    = u → , v → , w → . ( v → . w → ∧ u → )

                                                    = u → , v → , w → . u → . v → ∧ w →

                                                    = u → , v → , w → . ( u → ∧ v → . w → )

                                              = u → , v → , w → . u → , v → , w →

                = u → , v → , w → 2

Passo 4

No enunciado foi dito que a tripla de vetores E = ( u → ,   v → ,   w → ) é base, então podemos afirmar que:

[ u → ,   v → ,   w → ] ≠ 0

Certo?

Passo 5

Como já vimos, o produto misto da tripla F = u → ∧ v → ,   v → ∧ w → ,   w → ∧ u → é igual a u → , v → , w → 2 e que u → , v → , w → 2 ≠ 0 , então podemos aformar que u → ∧ v → ,   v → ∧ w → ,   w → ∧ u → também é diferente de zero, portanto, temos que F é base.

Além disso, notem que u → , v → , w → deve ser um número real, e como sabemos todo número real ao quadrado é positivo, logo u → ∧ v → ,   v → ∧ w → ,   w → ∧ u → > 0 e F é base positiva.

Por fim, vamos calcular a determinante M E F .

Passo 6

Como E = ( u → , v → , w → ) e F = u → ∧ v → ,   v → ∧ w → ,   w → ∧ u → são bases, podemos afirmar que:

det ⁡ M E F = u → ∧ v → ,   v → ∧ w → ,   w → ∧ u → u → , v → , w → = u → , v → , w → 2 u → , v → , w → = u → , v → , w →

Resposta

Portanto, se E = ( u → ,   v → ,   w → ) é base, então F = u → ∧ v → ,   v → ∧ w → ,   w → ∧ u → é base positiva. E det ⁡ M E F = u → , v → , w → .

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