Enunciado

Determine x para que A = (x, 1, 2), B = (2, −2, −3), C = (5, −1, 1) e D = (3, −2, −2) sejam coplanares.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de geometria analítica.

Para responder ao questionamento do enunciado, devemos lembrar que se o produto misto é igual a zero então os pontos fornecidos serão coplanares.

Inicialmente vamos escolher um ponto como referência, e determinar os vetores a partir deste:

B A = x ,   1 ,   2 - 2 ,   - 2 ,   - 3 = ( x - 2 ,   3 ,   5 )

B C = 5 ,   - 1 ,   1 - 2 ,   - 2 ,   - 3 = ( 3 ,   1 ,   4 )

B D = 3 ,   - 2 ,   - 2 - 2 ,   - 2 ,   - 3 = ( 1 ,   0 ,   1 )

Agora temos o produto misto igual a zero:

x - 2 3 5 3 1 4 1 0 1 = 0 = > x - 2 + 0 + 12 - 5 - 9 - 0 = 0

= > x - 4 = 0 = > x = 4

Resposta

4.

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Sejam u → e v → vetores não-nulos respectivamente paralelos às retas r e s , P um ponto de r , Q um ponto de s . Mostre que r e s são coplanares se, e somente se, u → ,v → ,P Q → = 0 .
As arestas O A ,O B e O C do tetraedro O A B C mede, respectivamente, a ,b e c , e as medidas dos ângulos A Ô B ,B Ô C Ô Ô e C Ô A Ô , são (respectivamente) α ,β e γ . Calcule o volume do tetraedro em
A medida angular entre os vetores unitários u → e v → é 30 ° , e o vetor w → , de norma 4, é ortogonal a ambos. Sabendo que a base ( u → ,v → ,w → ) é positiva, calcule [ u → ,v → ,w → ] .
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Em relação a uma base ortonormal positiva, são dados os vetores u → = 1 ,2 ,- 1 ,v → = 0 ,3 ,- 4 ,w → = ( 1 ,0 ,3 ) e t → = ( 0 ,0 ,2 ) . Calcule o volume do tetraedro A B C D , sabendo que A B → = P