Enunciado

Dados os vetores vec u = (2 , - 4) , vec v = (- 5 , 1) e vec w = (- 12 , 6) , determinar a_1 e a_2 tais que vec w = a_1 vec u + a_2 vec v .

Passo 1

Então pessoal, como temos duas incógnitas para trabalhar, muito provavelmente chegaremos em um sisteminha linear para resolver lá na frente, mas não vamos focar nisso agora, é apenas uma suposição lógica, tudo bem? O vetor que nos foi dado é esse aqui:

vec w = a_1 vec u + a_2 vec v

E os vetores vec u , vec v e vec w foram dados pra gente pelo enunciado, eles valem: vetores vec u = (2 , - 4) , vec v = (- 5 , 1) e vec w = (- 12 , 6) , então o que devemos fazer é apenas substituir cada vetor em seu devido lugar e ir manipulando.

Bora que bora!

Passo 2

Substituindo os vetores, teremos:

(- 12 , 6) = a_1 (2 , - 4) + a_2 (- 5 , 1)

(- 12 , 6) = (2 a_1 , - 4 a_1) + (- 5 a_2 , a_2)

(- 12 , 6) = (2 a_1 - 5 a_2 , - 4 a_1 + a_2)

Escrevendo um sisteminha:

{[[- 12 = 2 a_1 - 5 a_2],[6 = - 4 a_1 + a_2]])

Multiplicando a expressão de cima por (2) , teremos:

{[[- 24 = 4 a_1 - 10 a_2],[6 = - 4 a_1 + a_2]])

Agora somando as equações:

- 18 = - 9 a_2

a_2 = - (18)/(- 9)

:. a_2 = 2

Passo 3

Agora que encontramos a_2 , basta substituirmos o valor encontrado em qualquer uma das equações do sistema. Substituindo na equação de baixo, teremos:

6 = - 4 a_1 + a_2

6 = - 4 a_1 + 2

- 4 a_1 = 4

a_1 = (4)/(- 4)

:. a_1 = - 1

Sendo assim, os valores de a_1 e a_2 são:

a_1 = - 1 ; a_2 = 2

E essa é a nossa resolução, pessoal! 😉

Resposta

a_1 = - 1 ; a_2 = 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

3.1.9 Dados os pontos A = 1 , - 2 , - 3 , B = - 5,2 , - 1 e C = 4,0 , 1 . Determine o ponto D tal que A , B , C , D sejam vértices consecutivos de um paralelogramo.
Descreva em palavras a região de R 3 representada pela equação ou inequação. x = 5
Prove a seguinte propriedade do comprimento (ou norma) de um vetor: - v = | v |
Prove a seguinte propriedade do comprimento (ou norma) de um vetor: λ v = λ | v |
Prove a seguinte propriedade do comprimento (ou norma) de um vetor: a )v = 0s e ,es o m e n t es e ,v = 0