Enunciado

Deduza a fórmula abaixo:

d P , r = A P → ∧ r → r →

(a) raciocinando assim: se v → = proj r → ⁡ A P → , então A P → - v → = d P , r (recorde a condição (b) da Definição 9-12);

(b) aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo A P Q da figura abaixo:

Passo 1

(a) Vamos seguir a sugestão do enunciado. A condição (b) da Definição 9-12 diz que se:

p → = proj u → ⁡ v →

Então:

v → - p → ⊥ u →

Vamos fazer um desenho para representar isso:

E a sugestão do enunciado foi considerar que v → = proj r → ⁡ A P → , ou seja:

Isso quer dizer que A P → - v → = d P , r . Só precisamos fazer mais um desenho para perceber isso:

A linha pontilhada é a distância entre o ponto P e a reta r , e também é a norma do vetor A P → - v → .

Passo 2

Agora vamos representar tudo isso algebricamente, para tentar chegar na fórmula do enunciado.

A fórmula em que queremos chegar é essa aqui:

d P , r = A P → ∧ r → r →

Pensando geometricamente, o que isso tem a ver com a fórmula que vimos até aqui?

A P → - v → = d P , r

v → = proj r → ⁡ A P →

Bom, a norma do produto vetorial entre dois vetores é a área do paralelogramo formado por eles, ou seja:

O produto vetorial A P → ∧ r → representa essa área vermelha aí de cima. Mas outra forma de escrever essa área é usando o clássico “base vezes altura”, então:

á r e a = b a s e × a l t u r a

á r e a = r →   d P , r

Já que o comprimento do vetor r → é a base do paralelogramo e a distância d P , r é a altura.

Isso quer dizer que:

A P → ∧ r → = r →   d P , r

E então:

d P , r = A P → ∧ r → r →

Pronto! Demonstramos a fórmula.

Passo 3

(b) Agora o enunciado quer a mesma demonstração, mas utilizando o teorema de Pitágoras:

Aplicando o teorema de pitágoras ao triângulo A P Q :

h 2 + A Q → 2 = A P → 2

A altura h é a distância d P , r que queremos encontrar, então vamos isolar:

d 2 P , r = A P → 2 - A Q → 2

Mas o A Q → é a projeção do vetor A P → na direção da reta r . Como eles formam um ângulo que podemos chamar de α , podemos escrever:

A Q → = A P → cos ⁡ α

Então:

d 2 P , r = A P → 2 - A P → cos ⁡ α 2

d 2 P , r = A P → 2 1 - cos 2 ⁡ α

E lembrando que sen 2 ⁡ α = 1 - cos 2 ⁡ α :

d 2 P , r = A P → 2 sen 2 ⁡ α

Tirando a raiz quadrada dos dois lados:

d P , r = A P → sen ⁡ α

Agora vamos lembrar que a norma do produto vetorial é:

A P → × A B → = A P → A B → sen ⁡ α

Ou seja:

A P → sen ⁡ α = A P → × A B → A B →

Substituindo na equação de cima:

d P , r = A P → × A B → A B →

E como A B → = r → é um vetor diretor da reta r → , isso é a mesma coisa que:

d P , r = A P → × r → r →

Que é exatamente a fórmula que queríamos demonstrar!

Resposta

(a) Demonstração.

(b) Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Fixado a quais devem ser os dois valores de b para os quais a reta y = a x + b , de inclinação a, seja tangente à circunferência de centro O e raio r ?
Sejam P = (4,1,-1) e r: (x,y,z) = (2+t, 4-t, 1+2t).Mostre que P Ɇ r
Determine a projeção ortogonal do ponto P= ( 2 , - 1,3 ) sobre a reta x 3= y + 7 5 = z - 2 2 .
A reta r passa por A=( - 1,2 , 0 ) e B=( 2,1 , 3 ) . A reta s é dada por. x + 3 3=y - 6 - 1=z + 3 3 . Ache os pontos C e D de s tais que A , B , C e D , nessa ordem, formem um retângulo. Calcule a áre
Determine a distância do ponto P=( 6 , - 4,4 ) à reta determinada pelos pontos A=( 2,1 , 2 ) e B=( 3 , - 1,4 ) .