Enunciado

Sendo r : X = 1,0 , 2 + λ 0,0 , 2 , s : X = - 1,0 , 1 + λ 1,1 , 0 e t : X = 0,0 , 0 + λ 1 , - 1,0 , calcule a distância entre r e a reta perpendicular comum a s e t .

Passo 1

Se a reta u é pernpendicular a s e t , então o seu vetor diretor também tem que ser perpendicular ao das outras duas.

O primeiro passo para encontrar esse vetor é fazer o produto vetorial dos vetores diretores s → e t → :

u → = s → × t →

u → = 1,1 , 0 × 1 , - 1,0 = x ^ y ^ z ^ 1 1 0 1 - 1 0

u → = 0   x ^ + 0   y ^ + - 1   z ^ - 1   z ^ + 0   y ^ + 0   x ^

u → = 0 ,   0 ,   - 2

Então a nossa reta u tem essa forma:

u :           u 1 , u 2 , u 3 + α 0,0 , - 2

E falta encontrar o ponto u 1 , u 2 , u 3 .

Passo 2

Se a nossa reta u vai passar tanto por s quanto por t , então o segmento que vai de s até t :

S T → = 0,0 , 0 + λ t 1 , - 1,0 - - 1,0 , 1 - λ s 1,1 , 0

S T → :   x = 1 + λ t - λ s y = - λ t - λ s z = - 1

Tem que ser paralelo ao vetor diretor da nossa reta! Ou seja:

S T → = a 0,0 , - 2

Então ficamos com um sistema:

1 + λ t - λ s = 0 - λ t - λ s = 0 - 1 = - 2 a

Podemos ignorar a última equação. Pelas duas primeiras:

1 + λ t - λ s = 0 - λ t - λ s = 0

Pela segunda equação:

λ s = - λ t = λ

Substituindo na primeira:

1 - λ - λ = 0

1 - 2 λ = 0

λ = 1 2

Então podemos usar isso para encontrar algum ponto, de qualquer uma das duas retas s e t , que está contido na reta u .

Pegando na reta s , por exemplo:

X = - 1,0 , 1 + 1 2 1,1 , 0

X = - 1 2 , 1 2 , 1

Beleza, então esse vai ser o ponto u 1 , u 2 , u 3 da nossa reta u , e ficamos com:

u :           - 1 2 , 1 2 , 1 + α 0,0 , - 2

Passo 3

Ok, agora o problema que sobrou é: calcular a distância entre essas duas retas:

u :           X = - 1 2 , 1 2 , 1 + α 0,0 , - 2

r :                 X = 1,0 , 2 + λ 0,0 , 2

Aqui temos que lembrar da fórmula:

d u , r = U 0 R 0 → ∙ r → × s → r → × s →

Mas nesse caso, perceba que as duas retas são paralelas! O vetor diretor r → é simplesmente o negativo do vetor diretor u → !

Então essa fórmula de cima não vai servir! Quando lidamos com retas paralelas, temos que escolher um ponto qualuqer de uma das retas, por exemplo:

U 0 = - 1 2 , 1 2 , 1

E então calculamos a distância desse ponto até a reta r :

d U 0 . r = U 0 R 0 → × r → r →

Vamos encontrar esses dois vetores envolvidos na conta:

U 0 R 0 → = R 0 - U 0 = 1,0 , 2 - - 1 2 , 1 2 , 1 = 3 2 ,   - 1 2 , 1

r → = 0,0 , 2

Então começamos calculando o produto misto:

U 0 R 0 → × r → = x ^ y ^ z ^ 3 / 2 - 1 / 2 1 0 0 2

U 0 R 0 → × r → = - 1   x ^ - 3 y ^

E a norma desse vetor é

U 0 R 0 → × r → = - 1 2 + - 3 2 = 10

E a norma do vetor r → é:

r → = 0 2 + 0 2 + 2 2 = 2

Então a distância é:

d U 0 . r = U 0 R 0 → × r → r →

d U 0 . r = 10 2

Resolvido!

Resposta

A distância entre as retas é 10 / 2 .

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Descreva, em cada caso, o lugar geométrico dos pontos X de E 3 tais que a distância entre a reta r : X = 3,2 , 1 + λ 0,1 , 2 e a reta s determinada por B e X seja 3. B = 0,2 , 1 B = 0,0 , 2 B = 3,1 ,
Obtenha uma equação vetorial da reta que contêm a origem, dista 2 de s : X = 0 , 1 , 2 + λ 0 , 1,0 e forma ângulos congruentes com t : X = 1 , 1 , 2 + λ 1 , - 1 , 0 e h : X = 2,3 , - 1 + λ 1,1 , 0 .
Obtenha uma equação vetorial da reta que contêm o ponto A = 1,1 , 1 , está a distância de 1 / 2 de s : X = 0,1 , 0 + λ 0,0 , 1 e forma com π : 2 x - z = 0 um ângulo cujo cosseno é 7 / 15 .
Calcule a distância entre as retas r e s .(a) r : X = 2,1 , 0 + λ 1 , - 1,1 s : x + y + z = 2 x - y - 1 = 0 (b) r : ( x + 4 ) / 3 = y / 4 = z + 5 / ( - 2 ) s : ( 21 , - 5,2 ) + λ ( 6 , - 4 , - 1 ) (c)