Enunciado

Demonstrar que o segmento de extremos nos pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual à sua semissoma.

Passo 1

Então pessoal, antes de tudo, a fim de facilitar nossa visualização sobre o problema, vamos esboçar aqui a figura de um trapézio e seus pontos médios, saca só:

Vamos considerar esse trapézio de vértices A , B , C e D , no qual o segmento de reta M N - é a ligação entre os pontos médios da figura.

Passo 2

Observando a figura, temos as seguintes informações, galera:

M N → = M C → + C D → + D N →

M N → = 1 2 A C → + C D → + 1 2 D B →

Além disso, temos:

M N → = M A → + A B → + B N →

M N → = 1 2 C A → + A B → + 1 2 B D →

Vale ressaltar aqui que os vetores que substituímos por 1 2 de algum outro vetor, são porque eles equivalem à metade de um dos lados do trapézio, tudo bem? Se somarmos essas duas expressões de M N → teremos:

2 M N → = 1 2 A C → + 1 2 C A → + C D → + A B → + 1 2 D B → + 1 2 B D →

2 M N → = 1 2 A C → - 1 2 A C → + C D → + A B → + 1 2 D B → - 1 2 D B →

Simplificando:

2 M N → = C D → + A B →

∴ M N → = 1 2 C D → + A B →

Passo 3

Se observarmos bem a figura do passo 1 com o resultado que acabamos de encontrar notaremos que A B → e C D → são paralelos e, portanto, o módulo da soma desses vetores é a soma dos seus módulos, se liga:

C D → + A B → = A B → + C D →

E disso nós tiramos que o módulo de M N → é a semissoma das bases do trapézio, como queríamos demonstrar desde o início!

E está aí nossa resolução, pessoal! 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada uma das figuras abaixo, escreva o vetor z → em função dos demais.
Faça uma figura(ou mais), ilustrando uma das equações: (a): A C → = 3 A B → .
Faça uma figura(ou mais), ilustrando uma das equações: (b): A D → = 4 3 A B → .
Faça uma figura(ou mais), ilustrando uma das equações: (c): A E → = - 7 5 A B → .
Sendo a → = O A → e b → = O B → dois vetores não paralelos, escreva v → = O P → como combinação linear de a → e b → , sabendo que A P → = 2 3 A B →