Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.1 - Ex. 13
Demonstre que se A e B são semelhantes, então possuem os mesmos polinômios característicos e portanto os mesmo autovalores.
Passo 1
E aí, aluno?! Vamos para mais uma questão!
Dadas duas matrizes A e B, vamos supor que elas sejam semelhantes de ordem n. Isso implica que existe uma matriz M, também de ordem n, tal que:
Passo 2
Sabemos que
Em que I é a matriz identidade. Assim:
Reescrevendo:
Passo 3
Reordenando:
Sabendo que
Dessa forma, retomando
Temos que
Como os determinantes são iguais, A e B possuem o mesmo polinômio característico.
Resposta
Demonstração.
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