Enunciado

Seja λ um autovalor de A com autovetor associado X. Demonstre que λ k é um autovalor de A k = A … A associado a X, em que k é um inteiro positivo.

Passo 1

E aí, aluno?! Vamos para mais uma questão!

Sabemos que, para toda matriz A, os produtos matriciais entre suas potências são comutativos. Logo:

( A k - λ k I ) = ( A k - 1 + λ A k - 2 + … + λ k - 2 A + λ k - 1 I ) ( A - λ I )

Passo 2

Multiplicando ambos os lados da igualdade por X:

( A k - λ k I ) X = ( A k - 1 + λ A k - 2 + … + λ k - 2 A + λ k - 1 I ) ( A - λ I ) X

A k - 1 + λ A k - 2 + … + λ k - 2 A + λ k - 1 I A - λ I X = A k - 1 + λ A k - 2 + … + λ k - 2 A + λ k - 1 I 0

A k - 1 + λ A k - 2 + … + λ k - 2 A + λ k - 1 I 0 = 0

Assim:

( A k - λ k I ) X = 0

Passo 3

Realizando a distributiva:

A k X - λ k I X = 0

Que é equivalente à

A k X - λ k X = 0

Adicionando λ k X em ambos os lados

A k X = λ k X

Resposta

Demonstração.

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