Enunciado

Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares.

T :   R 2 → R ,     T x , y = x y

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a transformação é linear ou não. Aqui você deve lembrar que se uma transformação é linear, valem as seguintes propriedades:

T u + v = T u + T ( v )

T λ u = λ T ( u )

Neste caso, temos T x ,   y = x y . Sabemos que x y é um termo de segundo grau, então T não deve ser linear...

Passo 2

Se tentarmos verificar a segunda propriedade com u = ( a ,   b ) :

T λ u = T λ a ,   λ b = λ 2 a b = λ 2 T a ,   b ≠ λ T ( u )

Portanto, T não é linear.

Resposta

Não

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Determinar um operador linear F :R 3 → R 3 cuja imagem é gerada por ( 2 ,1 ,1 ) e ( 1 ,-1 ,2 ) .
Determinar um operador linear do R 3 cujo núcleo tenha dimensão 1 .
Mostrar que cada um dos operadores lineares do R 3 a seguir é inversível e determinar o isomorfismo inverso em cada caso:(a )F ( x ,y ,z )=( x-3 y-2 z ,y-4 z ,z ) ; (b) F ( x ,y ,z )=( x ,x -y ,2 x+y-
Mostrar que cada um dos operadores lineares do R 3 a seguir é inversível e determinar o isomorfismo inverso em cada caso:(a )F ( x ,y ,z )=( x-3 y-2 z ,y-4 z ,z ) ; (b) F ( x ,y ,z )=( x ,x -y . ,2 x+
Considere o operador linear F do R 3 definido por F ( 1 ,0 ,0 )=( 1 ,1 ,1 ) , F ( 0 ,1 ,0 )=( 1 ,0 ,1 ) eF 0 ,1 ,2=( 0 ,0 ,4 ) . F é invertíıvel? Se for, determine o isomorfismo inverso.