Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Capítulo 4.8 - Ex. 16

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desse livro

São apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas:

a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora?

b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora?

T :   R 2 → R 2 ,     T x , y = ( x - 2 y , x + y )

Passo 1

O problema fornece para nós uma transformação linear. Temos que determinar o núcleo e a imagem dessa transformação.

Para resolver o item a) vamos achar o núcleo, e para isso temos que lembrar que x , y ∈ N ( T ) se T x , y = ( 0 ,   0 ) :

x - 2 y , x + y = ( 0 ,   0 )

Assim temos que resolver o seguinte sisteminha,

x - 2 y = 0 x + y = 0

Tiramos que:

x = 2 y             e           x = - y

A única solução desse sistema é se x = y = 0 . Portanto, apenas o vetor nulo está contido no núcleo:

N T = { 0 ,   0 }

Assim, temos que T é injetora (pois o núcleo só contém o vetor nulo) e dim ⁡ N ( T ) = 0 .

Passo 2

Agora para responder o item b) vamos estudar a imagem de T :

T x , y = x - 2 y , x + y = x   1 ,   1 + y   ( - 2 ,   1 )

Assim, a imagem é gerada pelo conjunto de vetores:

A = { 1 ,   1 ,   - 2 ,   1 }

Como esse conjunto é LI e gerador, trata-se de uma base para I m ( T ) . Assim,

I m T = t   1 ,   1 + r - 2 ,   1     t ,   r ∈ R }

Note que dim ⁡ I m T = 2 = dim ⁡ R 2 , de modo que T é sobrejetora.

Resposta

N T = { ( 0 ,   0 ) }

dim ⁡ N ( T ) = 0

I m T = t   1 ,   1 + r - 2 ,   1     t ,   r ∈ R }

A = { 1 ,   1 ,   - 2 ,   1 }

dim ⁡ I m ( T ) = 2

É injetora e sobrejetora.

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