Enunciado

Dentre as transformações T :   R 2 → R 2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares.

T x , y = ( x - 3 y ,   2 x + 5 y )

Passo 1

Fala ai meu querido, para resolver essa questão vamos ter que verificar se a transformação é linear ou não. Então vamos que lembrar que se uma transformação é linear, os seguintes requisitos tem que ser atendidos:

T u + v = T u + T ( v )

T λ u = λ T ( u )

Passo 2

Vamos primeiro testar se a transformação é fechada para soma. Neste caso, temos que T x , y = ( x - 3 y ,   2 x + 5 y ) . Vamos supor u = ( a , b ) e v = ( c ,   d ) . Dessa forma seguindo a transformação que nos foi dada no exercício:

T u + v = T a + c ⏟ x ,   b + d ⏟ y = a + c - 3 b + d ⏟ x - 3 y ,   2   a + c + 5   b + d ⏟ 2 x + 5 y

Portanto,

T u + v = ( a - 3 b + c - 3 d ,   2 a + 5 b + 2 c + 5 d )

Agora note que isso pode ser quebrado em

T u + v = a - 3 b ,   2 a + 5 b + ( c - 3 d ,   2 c + 5 d )

E as duas parcelas são exatamente T ( u ) e T ( v ) . Assim,

T u + v = T u + T ( v )

A primeira propriedade é satisfeita!!!

Passo 3

Para testar o segundo requisito, vamos fazer:

T λ u = T λ a , b = T λ a ,   λ b

Assim, aplicando a transformação:

T λ u = λ a - 3 λ b ,   2 λ a + 5 λ b

Como λ aparece em todo mundo, podemos tirá-lo para fora:

T λ u = λ   a - 3 b ,   2 a + 5 b = λ T ( u )

Vemos que a segunda condição também é satisfeita. Assim, T é uma transformação linear!!!

Resposta

Sim

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