Enunciado

Encontre a decomposição LU da matriz de coeficientes e, depois, use o método do Exemplo 1 para resolver o sistema

2 8 - 1 - 1 x 1 x 2 =     - 2 - 2

Passo 1

Vamos lembrar que a fatoração LU possui duas matrizes:

- L: é uma matriz triangular inferior e possui a diagonal principal com o número 1

- U: é uma matriz triangular superior

Tá, mais ainda não conseguiu enxergar? Se lembre o que o triângulo são os números, e não o zero! Vejamos um exemplo:

L = 1 0 x 21 1           e             U =   x 11 x 12 0 x 22

Lembrando que x 11 ,   x 12 ,   x 21 ,   x 22 podem ser quais quer números!

Maaaas, você reparou que as matrizes estão diferentes da LU?

É isso que o exercício quer! Ele quer como no exemplo e como como a fatoração LU!

Passo 2

Nossa matriz é:

2 8 - 1 - 1

Agora vamos fazer um escalonamento, e percebemos que temos de zerar onde está o -1

Passo 3

Como foi dito, temos que zerar o -1 primeiro, mas como fazemos isso? Primeiro vamos ter que descobrir qual número vamos multiplicar pelo nosso pivô 2 para dar 1 (porque somando 1 + - 1 = 0 ), assim

2 α = 1           →           α = 1 2

Então multiplicaremos a primeira linha pelo valor que encontramos

2 8 - 1 - 1 × 1 / 2    

Maas quando for passar a matriz, a linha que estamos multiplicando sempre copiamos! Assim como na primeira linha e na primeira coluna está o 3, multiplicamos por 2 3 e somamos com o valor da segunda linha e da mesma coluna, e repetimos o passo:

2 8 2 × 1 2 - 1 8 × 1 2 - 1 ∼ 2 8 1 - 1 4 - 1 ∼ 2 8 0 3

Logo, temos a matriz U!

Passo 4

Agora, para a gente montar a matriz L, temos que lembrar como ela é:

L = 1 0 x 21 1

Substituímos o x 21 pelo oposto do multiplicador, ou seja, o - 1 2

1 0 - 1 2 1

Passo 5

Para saber se está certo a resposta, veremos se

2 8 - 1 - 1 =   1 0 - 1 2 1 2 8 0 3

Assim, fazendo a multiplicação de matrizes teremos

2 8 - 1 - 1 =   1 × 2 + 0 × 0 1 × 8 + 0 × 3 - 1 2 × 2 + 1 × 0 - 1 2 × 8 + 1 × 3

2 8 - 1 - 1 = 2 8 - 1 - 1

Assim, temos certeza eu as matrizes L e U estão corretas!

Passo 6

Vamos fazer o método no qual está escrito no exemplo do exercício, começando com o escalonamento. A diferença que normalmente fazemos e escalonamento por “baixo”, dessa vez faremos por “cima”, e o multiplicador será:

- 1 α = - 8         →       a = 8

Logo, como -1 será o pivô, multiplicaremos da segunda para a primeira linha

2 8 - 1 - 1 × 8

Assim

- 6 0 - 1 - 1

Passo 7

Agora a segunda matriz terá esse formato:

1 x 12 0 1

Colocando as incógnitas em um sistema, teremos

2 8 - 1 - 1 =   - 6 0 - 1 - 1 1 x 12 0 1

2 = ( - 6 ) × 1 + 0 × 0

8 = - 6   x 12 + 0 × 1  

- 1 = - 1 × 1 + ( - 1 ) × 0

- 1 = - 1 x 12 + ( - 1 ) × 1

Só que você consegue perceber que já na primeira equação, que 2 não é igual a -6? Logo, percebemos que o sistema proposto pelo exercício não é válido!

Passo 8

Finalmente resolvendo o sistema

1 0 - 1 2 1 2 8 0 3 =   2 8 - 1 - 1

Assim

2 8 - 1 - 1 x 1 x 2 =     - 2 - 2

2 8 | - 2 - 1 - 1 | - 2 ∼ 2 8 | - 2 - 1 - 1 | - 2 × 2 ∼   0 6 | - 6 1 1 |             2 ∼   0 1 | - 1 1 1 |           2 × ( - 1 )

0 1 | - 1 1 0 |           3

Resposta

x 1 = 3

X 2 = - 1

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