Enunciado

  1. Use o método do Exemplo 1 e a decomposição LU

  3 - 6 - 2 5 =     3 0 - 2 1   1 - 2 0 1

Para resolver o sistema

3 x 1 - 6 x 2 = 0

- 2 x 1 + 5 x 2 = 1

Passo 1

Vamos lembrar que a fatoração LU possui duas matrizes:

- L: é uma matriz triangular inferior e possui a diagonal principal com o número 1

- U: é uma matriz triangular superior

Tá, mais ainda não conseguiu enxergar? Se lembre o que o triângulo são os números, e não o zero! Vejamos um exemplo:

L = 1 0 x 21 1           e             U =   x 11 x 12 0 x 22

Lembrando que x 11 ,   x 12 ,   x 21 ,   x 22 podem ser quais quer números!

Maaaas, você reparou que as matrizes estão diferentes da LU?

É isso que o exercício quer! Ele quer como no exemplo e como como a fatoração LU!

Passo 2

Como vamos resolver? Vamos pegar os valores de x 1 e x 2 e colocar em uma matriz:

3 x 1 - 6 x 2 = 0

- 2 x 1 + 5 x 2 = 1

Então a nossa matriz é:

3 - 6 - 2 5

Agora vamos fazer um escalonamento, e percebemos que temos de zerar onde está o -2

Passo 3

Como foi dito, temos que zerar o -2 primeiro, mas como fazemos isso? Primeiro vamos ter que descobrir qual número vamos multiplicar pelo nosso pivô 3 para dar 2 (porque somando 2 + - 2 = 0 ), assim

3 α = 2           →           α = 2 3

Então multiplicaremos a primeira linha pelo valor que encontramos

3 - 6 - 2 5 × 2 / 3    

Maas quando for passar a matriz, a linha que estamos multiplicando sempre copiamos! Assim como na primeira linha e na primeira coluna está o 3, multiplicamos por 2 3 e somamos com o valor da segunda linha e da mesma coluna, e repetimos o passo:

3 - 6 3 × 2 3 - 2 - 6 × 2 3 + 5 ∼ 3 - 6 2 - 2 - 4 + 5 ∼ 3 - 6 0 1

Logo, temos a matriz U!

Passo 4

Agora, para a gente montar a matriz L, temos que lembrar como ela é:

L = 1 0 x 21 1

Substituímos o x 21 pelo oposto do multiplicador, ou seja, o - 2 3

1 0 - 2 3 1

Passo 5

Para saber se está certo a resposta, veremos se

3 - 6 - 2 5 =   1 0 - 2 3 1 3 - 6 0 1

Assim, fazendo a multiplicação de matrizes teremos

3 - 6 - 2 5 =   3 × 1 + 0 × 0 - 6 × 1 + 0 × 1 2 3 × 3 + 0 × 1 - 2 3 × - 6 + 1 × 1

3 - 6 - 2 5 =   3 - 6 - 2 5

Assim, temos certeza eu as matrizes L e U estão corretas!

Passo 6

Vamos fazer o método no qual está escrito no exemplo do exercício, começando com o escalonamento. A diferença que normalmente fazemos e escalonamento por “baixo, dessa vez faremos por cima, e o multiplicador será:

5 α = 6         →       a = 6 5

Logo, como 5 será o pivô, multiplicaremos da segunda para a primeira linha

3 - 6 - 2 5 × 6 / 5

Assim

3 5 0 - 2 5

Passo 7

Agora a segunda matriz terá esse formato:

1 x 12 0 1

Colocando as incógnitas em um sistema, teremos

3 - 6 - 2 5 =   3 5 0 - 2 5 1 x 12 0 1

3 = 3 5 × 1 + 0 × 0

- 6 = 3 5 x 12 + 0 × 1  

- 2 = - 2 × 1 + 5 × 0

5 = - 2 x 12 + 5 × 1

Só que você consegue perceber que já na primeira equação, que 3 não é igual a 3 5 ? Logo, percebemos que o sistema proposto pelo exercício não é válido!

Passo 8

Finalmente resolvendo o sistema

1 0 - 2 3 1 3 - 6 0 1 =   3 - 6 - 2 5

Assim

3 - 6 - 2 5 × x 1 x 2 = 0 1

3 - 6 | 0 - 2 5 | 1

3 - 6 | 0 - 2 5 | 1 × 2 3

3 - 6 | 0 0 1 | 1

1 - 2 | 0 0 1 | 1 × 2

1 0 | 2 0 1 | 1

Resposta

x 1 = 2

X 2 = 1

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