Enunciado

Descreva, em cada caso, a interseção entre o plano π e o tetraedro de vértices A = ( 1,1 , 3 ) , B = 2,2 , - 4 ,   C = ( 2 , - 2,0 ) e D = ( - 1 , - 1,2 )

( a ) π : 4 x - 3 y + z - 1 = 0

( b ) π : x + y + 3 z - 11 = 0

( c ) π : 2 x - y - 3 z + 4 = 0

( d ) π : 8 x - y + z - 10 = 0

( e ) π : x + y + z = 0

Passo 1

Substituindo os pontos no plano da letra a nós teremos:

A : 4 - 3 + 1 - 1 =   1

B : 8 - 6 - 4 - 1 = - 3

Como tem mudança de sinal então a reta A B atravessa o plano

C : 8 + 6 + 0 - 1 = 14

D :   - 4 + 3 + 2 - 1 = 0

Então o plano está no ponto D e atravessa as arestas A B e B C . Simples assim.

Passo 2

Agora aplicando os pontos no plano da letra b :

A : 1 + 1 + 9 - 11 = 0

Então A pertence ao plano

B : 2 + 2 - 12 - 11 = - 19

C = : 2 - 2 - 11 = - 11

D :   - 1 - 1 + 6 - 11 = - 7

Então como os outros pontos estão negativos (sem mudança de sinal entre um ponto e outro), logo o plano somente atravessa a pirâmide em A

Passo 3

Agora aplicando os pontos no plano descrito em c nós teremos:

A : 2 - 1 - 9 + 4 = - 4

B : 4 - 2 + 12 + 4 = 18

C : 4 + 2 + 4 = 10

D :   - 2 + 1 - 6 + 4 = - 3

Então esse plano atravessa as arestas A B , A C ,   C D e B D , justamente por inverter o sinal entre um ponto e outro.

Passo 4

Aplicando os pontos no plano descrito em d nós temos:

A : 8 - 1 + 3 - 10 = 0

B : 16 - 2 - 4 - 10 = 0

C : 16 + 2 - 10 = 8

D :   - 8 + 1 + 2 - 10 = - 15

Então os pontos A e B (a reta AB também) pertencem ao plano e corta a aresta C D .

Passo 5

Finalmente aplicando os pontos no plano escrito em e :

A ; 1 + 1 + 3 = 5

B : 2 + 2 - 4 = 0

C : 2 - 2 + 0 = 0

D :   - 1 - 1 + 2 = 0

Então o plano é a face do tetraedro formado pelos pontos B C D .

Resposta

a )   o   p l a n o   e s t á   n o   p o n t o   D   e   a t r a v e s s a   a s   a r e s t a s   A B   e   B C

b )   o   p l a n o   a t r a v e s s a   o   t e t r a e d r o   e m   A

c )   O   p l a n o   a t r a v e s s a   a s   a r e s t a s   A B , A C , C D   e   B D  

d )   A B   p e r t e n c e   a o   p l a n o   e   c o r t a   a   a r e s t a   C D  

e )   O   p l a n o   e s t á   n a   f a c e   B C D

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