Enunciado

Deseja-se construir um circuito como o mostrado na figura,

Onde V 1 = 280   V , V 2 = 100   V , V 3 = 50   V , R 1 = 20 Ω , R 2 = 30 Ω , R 3 = 50 Ω , R 4 = 40 Ω , R 5 = 100 Ω .

Dispõe-se de uma tabela de preços de vários tipos de resistências; assim como as correntes máximas que elas suportam sem queimar.

De que tipo devemos escolher cada resistência para que o circuito funcione com segurança e a sua fabricação seja a de menor custo possível?

Passo 1

Fala meu querido, nessa questão vamos ter que utilizar alguns conceitos de física e misturá-los com o que estamos aprendendo da resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Para começar vamos ter que montar equações para representar nosso circuito e para isso vamos utilizar as leis dos nós, que diz para gente que a corrente que entra em um nó tem que ser igual as correntes que saem desse mesmo nó.

Usando as leis dos nós obtemos as equações:

i 1 - i 2 - i 5 = 0 - i 1 + i 3 + i 4 + i 5 = 0 i 1 - i 4 - i 3 - i 5 = 0

Agora teremos que aplicar a lei das malhas que diz para a gente que a soma das diferenças de potencial de uma malha tem que ser igual a 0.

Aplicando a lei das malhas obtemos as equações:

i 1 + 5 i 5 - 14 = 0 3 i 2 + 10 + 4 i 4 - 10 i 5 = 0 5 i 3 + 5 - 4 i 4 = 0

Repara só que no sistema da lei dos nós temos duas linhas que são linearmente dependentes (a segunda e a terceira), então podemos montar um novo sistema só com uma delas e o resto das linhas:

i 1 + 5 i 5 = 14 3 i 2 + 4 i 4 - 10 i 5 = - 10 5 i 3 - 4 i 4 = - 5 i 1 - i 2 - i 5 = 0 - i 1 + i 3 + i 4 + i 5 = 0

Onde teremos 5 incógnitas para 5 equações. Vamos achar uma solução de boa.

Passo 3

Agora que já montamos nosso sistema, vamos para parte que estamos mais acostumados e vamos escrever a matriz ampliada associada ao sistema:

1 0 0 0 5 0 3 0 4 - 10 0 0 5 - 4 0 1 - 1 0 0 - 1 - 1 0 1 1 1 14 - 10 - 5 0 0

Passo 4

Vamos tentar simplificar nosso sistema usando operações de multiplicação e soma em linha para reduzir a matriz à forma escada, então vamos começar aquela série de operações que usamos para simplificar nossa matriz:

Primeiro fazendo L 4 = L 1 - L 4 :

1 0 0 0 5 0 3 0 4 - 10 0 0 5 - 4 0 0 1 0 0 6 - 1 0 1 1 1 14 - 10 - 5 0 0

Agora L 5 = L 1 + L 5 :

1 0 0 0 5 0 3 0 4 - 10 0 0 5 - 4 0 0 1 0 0 6 0 0 1 1 6 14 - 10 - 5 14 14

Trocando L 2 ↔ L 4 :

1 0 0 0 5 0 1 0 0 6 0 0 5 - 4 0 0 3 0 4 - 10 0 0 1 1 6 14 14 - 5 - 10 14

Fazendo L 4 = L 4 - 3 L 2 :

1 0 0 0 5 0 1 0 0 6 0 0 5 - 4 0 0 0 0 4 - 2 8 0 0 1 1 6 14 14 - 5 - 5 2 14

Trocando L 3 ↔ L 5 :

1 0 0 0 5 0 1 0 0 6 0 0 1 1 6 0 0 0 4 - 2 8 0 0 5 - 4 0 14 14 14 - 5 2 - 5

Fazendo L 5 = L 5 - 5 L 3 :

1 0 0 0 5 0 1 0 0 6 0 0 1 1 6 0 0 0 4 - 2 8 0 0 0 - 9 - 30 14 14 14 - 5 2 - 7 5

Agora L 4 = 1 4 L 4 :

1 0 0 0 5 0 1 0 0 6 0 0 1 1 6 0 0 0 1 - 7 0 0 0 - 9 - 30 14 14 14 - 13 - 75

Fazendo L 5 = L 5 + 9 L 4 :

1 0 0 0 5 0 1 0 0 6 0 0 1 1 6 0 0 0 1 - 7 0 0 0 0 - 93 14 14 14 - 13 - 192

Agora L 5 = - 1 93 L 5

1 0 0 0 5 0 1 0 0 6 0 0 1 1 6 0 0 0 1 - 7 0 0 0 0 1 14 14 14 - 13 192 / 93

Respira porque agora vamos subir...

Fazendo L 4 = L 4 + 7 L 5 :

1 0 0 0 5 0 1 0 0 6 0 0 1 1 6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 14 14 14 45 / 31 192 / 93

Agora L 3 = L 3 - 6 L 5 :

1 0 0 0 5 0 1 0 0 6 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 14 14 50 / 31 45 / 31 192 / 93

E L 3 = L 3 - L 4 :

1 0 0 0 5 0 1 0 0 6 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 14 14 5 / 31 45 / 31 192 / 93

Fazendo L 2 = L 2 - 4 L 5 :

1 0 0 0 5 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 14 50 / 31 5 / 31 45 / 31 192 / 93

E, finalmente, L 1 = L 1 - 5 L 5 :

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 14 / 31 50 / 31 5 / 31 45 / 31 192 / 93

Passo 5

Pronto, depois de todas essas transformações podemos reescrever nosso sistema na forma:

i 1 = 114 / 31 i 2 = 50 / 31 i 3 = 5 / 31 i 4 = 45 / 31 i 5 = 192 / 93

Fazendo essas continhas:

i 1 = 3,68 i 2 = 1 , 61 i 3 = 0,16 i 4 = 1,45 i 5 = 2,06

Agora vamos ver quais os valores na tabela.

- Como a i 1 passa pela resistência de 20   Ω , então:

R $   30,00

- Como a i 2 passa pela resistência de 30   Ω , então:

R $   22,00

- Como a i 3   passa pela resistência de 50   Ω , então:

R $   15,00  

- Como a i 4   passa pela resistência de 4 0   Ω , então:

R $   20,00  

- Como a i 5   passa pela resistência de 10 0   Ω , então:

R $   28,00

Somando tudo:

R $   115,00

Resposta

R $   115,00

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Sejam A, B e C matrizes nxn. ( A + B ) 2 = A 2 + 2 A B + B 2 ? E se AB = BA? Justifique
Sejam E 1 = 1 0 0 ⋮ 0 , E 2 = 0 1 0 ⋮ 0 , ..., E n = 0 0 ⋮ 0 1 matrizes nx1.Mostre que se A =a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮⋯ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n é uma matriz mxn, então A E j é igual à coluna
b) Determine todas as matrizes A, 2x2, que comutam com toda matriz B, 2x2, ou seja, tais que AB = BA, para toda matriz B, 2x2.
b) Sejam B e C matrizes mxn, tais BX = CX, para todo X, nx1. Mostre que B = C.
b) Se AB = 0, então BA = 0? Justifique.