Enunciado

b) Sejam B e C matrizes mxn, tais BX = CX, para todo X, nx1. Mostre que B = C.

Passo 1

Sejam B e C matrizes mxn, de forma que:

B =   b 11 b 12 b 21 b 22 ⋯ ⋯ b 1 n b 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ b m 1 b m 2 ⋯ b m n , C =   c 11 c 12 c 21 c 22 ⋯ ⋯ c 1 n c 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ c m 1 c m 2 ⋯ c m n  

Além disso, X é uma matriz nx1, tal que:

X = x 1 ⋮ x n

Passo 2

Agora, desenvolvendo os produtos matriciais e igualando:

B X =   b 11 b 12 b 21 b 22 ⋯ ⋯ b 1 n b 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ b m 1 b m 2 ⋯ b m n ∙ x 1 ⋮ x n

C X =   c 11 c 12 c 21 c 22 ⋯ ⋯ c 1 n c 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ c m 1 c m 2 ⋯ c m n ∙ x 1 ⋮ x n

B X = C X :

b 11 b 12 b 21 b 22 ⋯ ⋯ b 1 n b 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ b m 1 b m 2 ⋯ b m n ∙ x 1 ⋮ x n = c 11 c 12 c 21 c 22 ⋯ ⋯ c 1 n c 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ c m 1 c m 2 ⋯ c m n ∙ x 1 ⋮ x n

Passo 3

Dado que a igualdade deve valer para toda matriz X, podemos assumir que X é uma matriz 1x1 e que todos os seus elementos são iguais a 1, de forma que:

b 11 b 12 b 21 b 22 ⋯ ⋯ b 1 n b 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ b m 1 b m 2 ⋯ b m n ∙ 1 = c 11 c 12 c 21 c 22 ⋯ ⋯ c 1 n c 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ c m 1 c m 2 ⋯ c m n ∙ 1

1 é uma matriz identidade, ou seja B ∙ 1 = B e C ∙ 1 = C :

b 11 b 12 b 21 b 22 ⋯ ⋯ b 1 n b 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ b m 1 b m 2 ⋯ b m n = c 11 c 12 c 21 c 22 ⋯ ⋯ c 1 n c 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ c m 1 c m 2 ⋯ c m n

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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