Lista de Exercícios Resolvidos de Análise da Multiplicação de Matrizes

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Sejam A m × n e B n × m duas matrizes cujo produto é a matriz nula, isto é, A B = 0 m × m . Pode-se afirmar que:

( a ) O conjunto das linhas de A é linearmente dependente ou o conjunto das colunas de B é linearmente dependente.

( b ) O conjunto das colunas de A é linearmente dependente ou o conjunto das linhas de B é linearmente dependente.

( c ) B A = 0 n × n

( d ) A = 0 m × n ou B = 0 n × m

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Sejam

y = y 1 y 2 … y m e A = a 11 a 12 a 21 a 22 … a 1 n … a 2 n ⋮ ⋮ a m 1 a m 2   ⋮ … a m n

Mostre que o produto y A pode ser expresso como uma combinação linear das matrizes-linha de A   com coeficientes escalares vindo de y .

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Se A , B ∈ M n × n então A + B A + B = _______

a   A 2 + 2 A B + B 2

b   A 2 + A B + B A + B 2

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Sendo

A = 1 2 3 - 3 - 2 - 1 - 1 3 - 2 , B = 0 0 1 2 0 - 1 6 5 2

E C = A . B , o elemento C 33 da matriz C é:

a) 9

b) 0

c) -4

d) -8

e) -12

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Sendo

A = 1 3 2 - 5 , B = 5 2

E A X = 2 B . Então a matriz X é igual a:

a) 16 62

b) 16 11 62 11

c) 62 11 16 11

d) 62 16

e) 62 1 0 16 1 0

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Uma montadora produz três modelos de veículos: A , B e C . Neles podem ser instalados dois tipos de airbags: D e E . A matriz [ a i r b a g   m o d e l o ] mostra a quantidade de unidades de airbags instaladas

Numa determinada semana, foram produzidas as seguintes quantidades de veículos, dadas pela matriz [ m o d e l o - q u a n t i d a d e ] :

O produto da matriz [ a i r b a g   m o d e l o ] pela matriz [ m o d e l o - q u a n t i d a d e ] é 1600 3600 .

Quantos veículos do modelo C foram montados na semana?

a) 300

b) 200

c) 150

d) 0

e) 100

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Seja A uma matriz 3 × 2 . Deseja-se construir uma matriz M de forma que o produto C = M A seja uma matriz 3 × 2 satisfazendo:

i . A primeira linha de C é igual à metade da soma de todas as linhas de A ;

i i . A segunda linha de C é igual à metade da diferença entre as duas últimas linhas de A ;

i i i . A terceira linha de C é igual à primeira linha de A ;

Qual a soma de todos os elementos da matriz M ?

a 0

b 1 2

c 3 2

d 5 2

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Qual(is) das seguintes propriedades do produto de matrizes são validas?

a   Associatividade?

b   Comutatividade?

c   Distributividade?

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Sejam v → = 1 1 1 T , u → = 1 - 1 - 1 T e A   tal que A v → = 8 8 1 2 T e A u → = 9 9 2 1 T . Calcule a primeira coluna da matriz A:

(a)   17 2 17 2 1 2 - 3 2 T

(b) 17 2 - 17 2 3 2 1 2 T

(c)   - 1 2 - 1 2 - 1 2 1 2 T

(d) 17 2 17 2 3 2 3 2 T

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Deseja-se construir uma matriz M de forma que o produto C = M A seja uma matriz 3 × 3 satisfazendo as condições abaixo, qualquer que seja a matriz A 2 × 3 .

i .   A primeira linha de C deve ser igual à soma das linhas de A .

i i .   A segunda linha de C deve ser igual à diferença entre as linhas de A e

i i i .   A terceira linha de C deve ser igual ao triplo da primeira linha de A menos o dobro da segunda linha de A .

Qual é a soma de todos os elementos da matriz M ?

a   1

b   4

c   3

d   6

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Seja A uma matriz m   ×   n qualquer:

I - Pode-se afirmar que existe apenas um vetor   v → tal que A v → é igual à soma de todas as colunas de A

II - Não existe nenhum vetor v →   tal que A v → é igual à diferença entre a primeira e a última colunas de A

(a) I é verdadeira e II é falsa

(b) Ambas são verdadeiras

(c) I é falsa e II é verdadeira

(d) Ambas são falsas

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Sejam v → = 1 1 1 T , u → = 1 - 1 1 T e A tal que A v → = 8 8 1 2 T e A u → = 9 8 2 1 T . Calcule a segunda coluna da matriz A .

  1. - 1 2 0 - 1 2 1 2 T
  2. 1 - 2 3 2 3 2 T
  3. 17 2 8 3 2 3 2 T
  4. 0 1 1 2 - 1 2 T

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Seja A uma matriz 2   ×   3 . Deseja-se construir uma matriz M tal que o produto C   =   M A seja uma matriz 3   ×   3 satisfazendo as condições abaixo:

i. A primeira linha de C deve ser igual à diferença entre as linhas de A ;

ii. A segunda linha de C deve ser igual ao dobro da soma das linhas de A e

iii. A terceira linha de C   deve ser igual ao dobro da primeira linha de A menos a segunda linha de A.

A soma de todos os elementos da matriz M é:

(a) 5

(b) 3

(c) 0

(d) 6

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Seja C uma matriz 3 × 2   tal que o sistema C x → = 0 → tem solução única. Considere as afirmações.

(I) É possível que C seja um produto de matrizes C = AB onde A é 3 × 4   e B é 4 × 2 .

(II) É possível que C seja um produto de matrizes C = AB onde A é 3 × 1   e B é 1 × 2 .

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

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Sejam A m × n e B n × m duas matrizes cujo produto é a matriz nula, isto é, A B = 0 m × m . Pode-se afirmar que:

( a ) O conjunto das linhas de A é linearmente dependente ou o conjunto das colunas de B é linearmente dependente.

( b ) O conjunto das colunas de A é linearmente dependente ou o conjunto das linhas de B é linearmente dependente.

( c ) B A = 0 n × n

( d ) A = 0 m × n ou B = 0 n × m

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Sejam A e B matrizes tais que o produto matricial A B está definido. Considere as seguintes afirmações:

I As colunas do produto A B são combinações lineares das colunas de A .

I I As linhas do produto A B são combinações lineares das linhas de B .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

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Sejam A ,   2 × 2   e C ,   3 × 2 matrizes tais que C = E A . Assinale abaixo a matriz E   de forma que a primeira linha de C seja igual à soma das linhas de A ; a segunda linha de C   seja igual à diferença entre as linhas de A ; e a terceira linha de C seja igual à segunda linha de A .   Assinale a soma dos elementos da segunda coluna de E :

a) - 1

b)   2

c) 0

d) 1

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Sejam A e B duas matrizes. Considere as afirmações.

(I) Se o produto AB está definido, então o produto BA também está.

(II) Se os produtos AB e BA estão definidos, então A e B são quadradas.

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

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Seja A uma matriz 6 × 2 . Deseja-se construir uma matriz M de forma que o produto C = A M seja uma matriz 6 × 2 satisfazendo:

i .   A primeira coluna de C é igual a soma das colunas de A ;

i i . A segunda coluna de C é igual à diferença entre as colunas de A ;

Qual a soma de todos os elementos da matriz M ?

( a ) 1

( b ) 6

( c ) 0

( d ) 2

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