Enunciado

Determinar o ângulo que a reta

r : { x - 2 3 = y - 4 = z + 1 5

Forma com o olnao π : 2 x - y + 7 z - 1 = 0 .

Passo 1

Em questões de ângulos entre plano e reta, temos que tomar o seno entre o vetor diretor da reta v → com o vetor normal ao plano n → . Assim, temos

s e n θ = v → ∙ n → v → ∙ n →

Passo 2

Para acharmos as coordenadas da normal, vamos analisar a equação do plano.

π : 2 x - y + 7 z - 1 = 0

Como os escalares que multiplicam x , y e z são, respectivamente, 2 ,   - 1 e 7 , as coordenadas da normal n → são n → = ( 2 ,   - 1 ,   7 ) .

Para achar as coordenadas do vetor diretor da reta, temos que olhar os denominadores da sua equação. Como ela é dada por

x - 2 3 = y - 4 = z + 1 5

Temos que o denominador nas parcelas x , y e z , respectivamente, são 3 , - 4 e 5 . Logo, as coordenadas do vetor diretor v → são v → = 3 ,   - 4 ,     5 .

Passo 3

Por fim, vamos aplicar essas coordenadas na equação s e n θ = v → ∙ n → v → ∙ n → .

s e n θ = v → ∙ n → v → ∙ n →

s e n θ = ( 2 ,   - 1 ,   7 ) ∙ 3 ,   - 4 ,     5 ( 2 ,   - 1 ,   7 ) ∙ 3 ,   - 4 ,     5

s e n θ = 6 + 4 + 35 2 2 + - 1 2 + 7 2 ∙ 3 2 + - 4 2 + 5 2

s e n θ = 45 54 ∙ 50

s e n θ = 45 3 6 ∙ 5 2

s e n θ = 3 12  

s e n θ = 3 2 3

s e n θ = 3 3 2 ∙ 3

s e n θ = 3 2       →       θ = 60 °

Pronto, era isso que a questão pedia.

Resposta

θ = 60 °

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f) Qual o ponto P de π 1 que está mais próximo da origem?
b) Calcule a distância de r a π .
Verifique que a reta r: (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(1, -1, 0) é paralela ao plano π = x + y + z = 0
Seja r 1 a reta que passa pelos pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 2, 0) e r 2 a reta: x - 2 = y - 3 2 = z - 4 3 b) Calcule a distância entre r 1 e r 2 .
Ache todas as retas que passam pelo ponto (1, -2, 3) e que formam ângulos 45° e 60° com os eixos x e y respectivamente.