Enunciado

32. Determinar o ângulo entre os seguintes planos:

a) π 1 : x - 2 y + z - 6 = 0 e π 2 : 2 x - y - z + 3 = 0

Passo 1

Então galera, de acordo com o que estudamos no capítulo 6 do Winterle, temos que o ângulo entre dois planos é dado pela seguinte equação:

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → ∙ n 2 →

Que é basicamente a equação do produto escalar entre dois vetores que aprendemos lá no segundo capítulo do Winterle! Conhecendo a equação que determina o ângulo, é fácil notar que precisamos determinar quem são esses vetores n 1 → e n 2 → , não é mesmo? Show! Temos que a expressão geral do plano é essa aqui ó:

a x + b y + c z + d = 0

Onde os coeficientes das coordenadas, ou seja, a ,   b ,   c são as componentes de um vetor normal ao plano. Esses vetores n 1 → e n 2 → são exatamente esses vetores normais ao plano, galera! Dessa forma, uma vez que temos as equações dos planos, fica tranquilão determinarmos esses vetores normais!

Então bora que bora!

Passo 2

As equações que temos são:

π 1 : x - 2 y + z - 6 = 0 e π 2 : 2 x - y - z + 3 = 0

Do primeiro plano, temos que os coeficientes são:

a = 1

b = - 2

c = 1

Logo:

n 1 → = 1 ,   - 2 ,   1

Já do segundo plano, temos que os coeficientes são:

a = 2

b = - 1

c = - 1

Logo:

n 2 → = 2 ,   - 1 ,   - 1

Show de bola!

Passo 3

Agora que encontramos nossos vetores, vamos encontrar seus módulos, ok? Para o primeiro vetor:

n 1 → = 1 2 + - 2 2 + 1 2

n 1 → = 6

E para o segundo vetor:

n 2 → = 2 2 + - 1 2 + - 1 2

n 2 → = 6

Agora substituindo na equação que determina o ângulo entre os planos (que discutimos lááá no passo 1):

cos ⁡ θ = n 1 → ∙ n 2 → n 1 → ∙ n 2 → = 1 ,   - 2 ,   1 ∙ 2 ,   - 1 ,   - 1 6 . 6

cos ⁡ θ = 2 + 2 - 1 6 = 3 6

θ = a r c cos ⁡ 3 6

∴ θ = 60 °

E esse é o ângulo entre os planos, galera! 😉

Resposta

θ = 60 °

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Estabelecer as equações dos planos bissetores dos ângulos formados pelos planos x O zey O z .
Determinar o ângulo entre os seguintes planos: π 1 : 3 x + 2 y - 6 = 0 e π 2 : p l a n ox O z
Determinar o ângulo entre os seguintes planos: π 1 : 3 x + 2 y - 6 = 0 e π 2 : p l a n oy O z
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