Enunciado

Determinar uma base do subespaço do I R 4 gerado pelos vetores v 1 = 1 , - 1,0 , 0 ,   v 2 = - 2,2 , 2,1 ,   v 3 = - 1,1 , 2,1 ,   e   v 4 = ( 0,0 , 4,2 ) .

Passo 1

Bom, vamos escrever esse subespaço que é gerado por esses vetores...

a 1 , - 1,0 , 0 + b - 2,2 , 2,1 + c - 1,1 , 2,1 + d 0,0 , 4,2 = ( x ,   y , w , z )

Vamos ver quantas variáveis livres vamos ter nesse sistema, e aí nós chegamos na dimensão do subespaço...

A gente monta o sistema:

a - 2 b - c = x - a + 2 b + c = y 2 b + 2 c + 4 d = w b + c + 2 d = z

Passo 2

Juntando a primeira equação com a segunda, encontramos x = - y .

Daí, a gente junta as duas últimas e encontramos:

2 z = w

Bom, então nós temos duas variáveis livres. Basicamente o subespaço é da forma:

( x , - x , 2 z , z )

Com isso, nossa dimensão é 2 e podemos escolher 2 dentre os que nos deram para ser nossa base...

B = { 1 , - 1,0 , 0 ,   - 2,2 , 2,1 }

Resposta

B = { 1 , - 1,0 , 0 ,   - 2,2 , 2,1 }

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Seja V = { ( 3 a + 4 b - 4 c ) , 2 a - 4 b - 6 c , - 2 a - 4 b + 2 c ) |a , b , c∈ R } um subespaço de R 3 .a) Determine um conjunto de geradores para V .
Dados V 1 = ( - 3,5 , 2,1 ) e V 2 = ( 1 , - 2 , - 1,2 ) : a ) Os vetores V 1 e V 2 geram o R 4 ? Justifique.
Sejam W 1 e W 2 dois subespaços.a) Mostre que W 1 ∩ W 2 .
Sejam V e W vetores do R n . Mostre que o conjunto dos vetores da forma α V + β W é um subespaço do R n .
Mostre que se uma reta em R 2 ou em R 3 não passa pela origem, então ela não é um subespaço. (Sugestão: se ela fosse um subespaço, então…)