Enunciado

Seja V = { ( 3 a + 4 b - 4 c ) , 2 a - 4 b - 6 c , - 2 a - 4 b + 2 c ) |   a , b , c   ∈ R } um subespaço de R 3 .

a) Determine um conjunto de geradores para V .

Passo 1

Eaew, tudo bem contigo?

Para determinar este conjunto de geradores precisamos expandir o subespaço em termos de 3 vetores, uma vez que temos 3 parâmetros neste problema, a , b   e   c . Vamos começar por isso!

Passo 2

Expandindo o subespaço, temos:

V = ( 3 a + 4 b - 4 c ) , 2 a - 4 b - 6 c , - 2 a - 4 b + 2 c ) →

→ V   = a ( 3,2 , - 2 ) + b ( 4 , - 4 , - 4 ) + c ( - 4 , - 6,2 )  

Se identificarmos que

V   =   a V 1 + b V 2 + c V 3

em que V 1 = ( 3,2 , - 2 ) , V 2 = ( 4 , - 4 , - 4 ) e V 3 = ( - 4 , - 6,2 ) . temos os nossos geradores do subespaço. No entanto, isso não garante que eles sejam uma base! De qualquer forma, esta alternativa foi isso, vamos seguir com o problema!

Resposta

V 1 = ( 3,2 , - 2 ) , V 2 = ( 4 , - 4 , - 4 ) e V 3 = ( - 4 , - 6,2 )

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