Enunciado

Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.

Vértices A 0 , ± 2 e equações das assíntotas y = ± 1 4 x

Passo 1

Vamos lá, temos que a hipérbole possuem os seguintes elementos:

  • Dois focos, F 1 e F 2 , que possui uma distância focal de 2 c entre eles
  • Um centro C h , k que é o ponto médio do segmento dos focos F 1 F 2
  • Dois vértices, A 1 e A 2
  • O eixo real que é o segmento A 1 A 2 com comprimento 2 a
  • O eixo imaginário que é o segmento B 1 B 2 com comprimento 2 b

Aqui vemos que como o vértice está no eixo O y , assim temos que a equação da hipérbole é com eixo real sobre O y , assim vai ser da forma:

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1

Vamos então encontrar os valores a , b , k e h .

Passo 2

Pelas informações do enunciado temos que como os vértices são A 0 , ± 2 temos então a = 2 , o centro é C 0,0 e as equações das assíntotas são da forma:

y = m x

Como a equação da hipérbole é da forma y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1 temos que m 1 = a b e m 2 = - a b , assim temos:

y = ± 1 4 x

m 1 = a b → 1 4 = a b → b = 4 a = 4 ⋅ 2 = 8

Pronto, vamos agora substituir os valores e temos a equação da hipérbole:

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1 → y - 0 2 2 2 - x - 0 2 8 2 = 1 → y 2 4 - x 2 64 = 1 → 16 y 2 - x 2 64 = 6 4 6 4 →

→ 16 y 2 - x 2 - 6 4 = 0

Passo 3

Vamos também encontrar os focos para montar o gráfico, vamos achar c , pois a distância do centro aos focos é de c :

c 2 = a 2 + b 2 → c 2 = 2 2 + 8 2 → c 2 = 4 + 64 → c 2 = 68 → c = 68 = 2 17

Temos então que as coordenadas y dos focos são:

0 + 2 17 = 2 17

0 - 2 17 = - 2 17

E a x é constante e igual a 0 , assim os focos são F 1 0 , 2 17 e F 2 0 , - 2 17 .

Passo 4

Agora vamos esboçar o gráfico usando a expressão da hipérbole que encontramos, 16 y 2 - x 2 - 64 = 0 :

Resposta

16 y 2 - x 2 - 64 = 0

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