Enunciado

Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.

Centro C 3,2 , um vértice A 1,2 e um foco F - 1,2

Passo 1

Vamos lá, temos que a hipérbole possuem os seguintes elementos:

  • Dois focos, F 1 e F 2 , que possui uma distância focal de 2 c entre eles
  • Um centro C h , k que é o ponto médio do segmento dos focos F 1 F 2
  • Dois vértices, A 1 e A 2
  • O eixo real que é o segmento A 1 A 2 com comprimento 2 a
  • O eixo imaginário que é o segmento B 1 B 2 com comprimento 2 b

Aqui vemos que o real é paralelo ao eixo O x , pois os pontos tem o valor y constante igual a 2 , assim a equação vai ser da forma:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1

Vamos então encontrar os valores a , b , k e h .

Passo 2

Pelas informações do enunciado temos que um foco é F - 1,2 , o centro é C 3,2 e um vértice é A 1,2 , vamos ver esses pontos no gráfico:

Temos então que a distância do centro ao foco é igual a c e a distância do centro ao vértice é igual a a , vamos então encontrar os valores de a e c :

a = 3 - 1 = 2

c = 3 - - 1 = 3 + 1 = 4

Precisamos agora encontrar b , e para isso podemos usar a seguinte expressão:

c 2 = a 2 + b 2

Vamos então substituir os valores:

c 2 = a 2 + b 2 → 4 2 = 2 2 + b 2 → 16 = 4 + b 2 → b 2 = 12 → b = 12

Passo 3

Vamos também encontrar o outro vértice e o outro foco para montar o gráfico, como a distância do centro aos vértices é de 2 , temos então que a coordenada x dele é:

3 + 2 = 5

E a y é constante e igual à 2 , assim o outro vértice é A 2 5,2 .

Para achar o outro foco como temos que a distância do centro aos focos é de 4 , temos então que a coordenada x dele é:

3 + 4 = 7

E a y é constante e igual a 2 , assim o outro foco é F 2 7,2 .

Passo 4

Pronto, vamos agora substituir os valores na equação da hipérbole, o centro C 3,2 , a = 2 e b = 12 :

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1 → x - 3 2 2 2 - y - 2 2 12 2 = 1 → x 2 - 6 x + 9 4 - y 2 - 4 y + 4 12 = 1 →

→ 3 x 2 - 18 x + 27 - y 2 - 4 y + 4 12 = 12 12 → 3 x 2 - 18 x + 27 - y 2 + 4 y - 4 12 = 12 12 →

→ 3 x 2 - y 2 - 18 x + 4 y + 23 = 12 → 3 x 2 - y 2 - 18 x + 4 y + 23 - 12 = 0 →

→ 3 x 2 - y 2 - 18 x + 4 y + 11 = 0

Assim conseguimos então a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas, e ela é:

3 x 2 - y 2 - 18 x + 4 y + 11 = 0

Passo 5

Agora vamos esboçar o gráfico usando a expressão da hipérbole que encontramos, 3 x 2 - y 2 - 18 x + 4 y + 11 = 0 :

Resposta

3 x 2 - y 2 - 18 x + 4 y + 11 = 0

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