Enunciado

Determinar uma equação das superfícies esféricas nas condições dadas.

  1. O centro C ( - 2 , 3,4 ) e tangente ao eixo O z .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Resgatando do livro texto, a equação de uma superfície esférica de centro C ( h , k , l ) e raio r é:

x - h 2 + y - k 2 + z - l 2 = r 2

No nosso caso temos o centro e sabemos que essa esfera é tangente ao eixo O z . Isso significa que a distância do centro até o eixo O z na altura do centro é igual ao raio. Então a ideia aqui é a seguinte: calcular a distância entre o centro C - 2 , 3,4 e o eixo O z , P ( 0,0 , 4 ) , pra determinar o valor de r 2 . E com o centro e r 2 , substituir na equação geral da superfície esférica, abrir os produtos notáveis, reorganizar os termos e é só =D

Beleza até aqui?

Vamos começar?

Passo 2

Primeiro a distância entre C ( - 2 , 3,4 ) e P ( 0,0 , 4 ) :

r 2 = x C - x P 2 + y C - x P 2 + z C - z P 2

r 2 = - 2 - 0 2 + 3 - 0 2 + 4 - 4 2

r 2 = 4 + 9

r 2 = 13

Passo 3

Pronto! Agora vamos juntar o centro C h , k , l = C ( - 2,3 , 4 ) e r 2 = 13 e substituir na equação geral.

Resgatando lá do passo 1 a equação geral temos:

x - h 2 + y - k 2 + z - l 2 = r 2

Agora é só substituir:

x + 2 2 + y - 3 2 + z - 4 2 = 13

Mas a resposta é com os produtos notáveis desenvolvidos, então ainda faltam fazer algumas continhas:

x 2 + 4 x + 4 + y 2 - 6 y + 9 + z 2 - 8 z + 16 - 13 = 0

x 2 + y 2 + z 2 + 4 x - 6 y - 8 z + 16 = 0

Ufa! Agora sim! A equação dessa superfície esférica é x 2 + y 2 + z 2 + 4 x - 6 y - 8 z + 16 = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

x 2 + y 2 + z 2 + 4 x - 6 y - 8 z + 16 = 0

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Determinar uma equação da superfície esférica de centro C ( 2 ,- 3 ,4 ) e:tangente ao plano x O y .
Determinar uma equação da superfície esférica de centro C ( 2 ,- 3 ,4 ) e:tangente ao plano x O z .
Obter uma equação geral do plano tangente à superfície esférica E no pontoP c) E : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 2 y - 6 z - 11 = 0 ; P ( 2 , - 5,6 )