Enunciado

Obter uma equação geral do plano tangente à superfície esférica E no ponto   P

b) E : ( x - 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z - 2 ) 2 = 12 ; P ( 1 , - 3,4 )

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Queremos a equação do plano tangente, certo? Vou chamar esse plano de π . A equação geral do plano é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Para equacionar esse plano precisamos de um vetor ( a , b , c ) que seja normal e de um ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) que pertença a ele também. O ponto já temos e é o P ( 1 , - 3,4 ) . E o vetor normal?

Bom, vamos pensar um pouquinho. A partir da equação da superfície esférica a gente já sabe como encontrar o centro, certo? Podemos construir então um vetor que sai do centro e vá até o ponto P , pois assim ele vai estar na direção radial da superfície (já que o plano é tangente), e consequentemente normal ao plano. Então é daqui que vamos achar o vetor normal: a partir do centro da superfície E .

Então a ideia aqui é a seguinte: a partir da equação para E achar seu centro, depois construir o vetor normal com o ponto dado. Daí com o vetor normal e o ponto é só substituir na equação geral do plano, fazer as multiplicações, reorganizar os termos, e correr pro abraço!

Beleza até aqui?

Vamos começar?

Passo 2

Primeiro vamos resgatar a equação da superfície E :

x - 3 2 + y + 1 2 + z - 2 2 = 12

Ela é do tipo reduzida, e na forma geral é:

x - h 2 + y - k 2 + z - l 2 = r 2

Onde o centro é C ( h , k , l ) e o raio ao quadrado r 2 .   Comparando com a nossa equação temos o centro C ( 3 , - 1,2 ) .

Passo 3

Pronto! Agora vamos construir o vetor normal ao plano. Esse vetor vai sair do centro C ( 3 , - 1,2 ) e ir até o ponto P ( 1 , - 3,4 ) dado. Assim o vetor é:

v → = P - C = 1 , - 3,4 - 3 , - 1,2 = ( - 2 , - 2,2 )

Passo 4

Resumindo, o ponto P e o vetor v → são:

x 0 , y 0 , z 0 = P ( 1 , - 3,4 )

a , b , c = v → = ( - 2 , - 2,2 )

Agora vamos resgatar a equação geral do plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Substituindo temos:

- 2 x - 1 - 2 y + 3 + 2 z - 4 = 0

- 2 x + 2 - 2 y - 6 + 2 z - 8 = 0 ( × - 1 )

2 x + 2 y - 2 z + 12 ( ÷ 2 )

x + y - z + 6 = 0

Pronto! Resolvido! A equação do plano tangente é x + y - z + 6 = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

x + y - z + 6 = 0

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Determinar a equação de cada uma das superfícies esféricas definidas pelas seguintes condições:Centro C ( 2 ,- 3 ,1 ) e raio 4 .
Determinar a equação de cada uma das superfícies esféricas definidas pelas seguintes condições:d) Centro C ( - 2 , 3 ,4 ) e tangente ao eixo dos z.
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