Enunciado

Determinar equações reduzidas na variável x da reta que passa pelo ponto A 3 , - 2,4 e é perpendicular ao plano π : x - 3 y + 2 z - 5 = 0 .

Passo 1

Vamos lá, primeiro vamos ver como é o formato das equações reduzidas da reta:

r : x - x 1 a = y - y 1 b = z - z 1 c

Aqui temos que o ponto A x 1 , y 1 , z 1 é um ponto que passa pela reta e v → = a , b , c um vetor direção da reta.

Aqui podemos achar o ponto A bem simples, é só usar o ponto A 3 , - 2,4 , já que a reta passa por ele:

r : x - 3 a = y - - 2 b = z - 4 c → r : x - 3 a = y + 2 b = z - 4 c

Passo 2

Agora precisamos então encontrar os valores a , b e c do vetor diretor, vamos encontrar usando a informação do plano π .

A equação do plano é da forma:

a x + b y + c z + d = 0

Onde a , b , e c são os valores do vetor normal n → = a , b , c , que é justamente um vetor perpendicular ao plano, e como a reta é perpendicular à π então podemos usar esse vetor normal:

v → = a , b , c = 1 , - 3 , 2

Substituindo temos:

r : x - 3 a = y + 2 b = z - 4 c → r : x - 3 1 = y + 2 - 3 = z - 4 2

Passo 3

Como queremos as equações reduzidas na variável x vamos fazer:

x - 3 1 = y + 2 - 3

x - 3 1 = z - 4 2

Agora é só isolar os termos y e z nas duas expressões, para y temos:

x - 3 1 = y + 2 - 3 → - 3 x - 3 = y + 2 → - 3 x + 9 = y + 2 → y = - 3 x + 9 - 2 →

→ y = - 3 x + 7

E com z :

x - 3 1 = z - 4 2 → 2 x - 3 = z - 4 → 2 x - 6 = z - 4 → z = 2 x - 6 + 4 → z = 2 x - 2

Pronto, temos que as equações reduzidas na variável x da reta que passa por A e é perpendicular a π é:

y = - 3 x + 7 , z = 2 x - 2

Resposta

y = - 3 x + 7 , z = 2 x - 2

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