Enunciado

Obter equações paramétricas das retas nos casos em que:

A reta passa pela origem, é ortogonal à reta r : 2 x = y = 3 z e paralela ao plano π : x - y - z + 2 = 0 .

Passo 1

Vamos lá, primeiro vamos ver como é o formato das equações paramétricas da reta:

x = x 1 + a t y = y 1 + b t z = z 1 + c t

Aqui temos que o ponto A x 1 , y 1 , z 1 é um ponto que passa pela reta e v → = a , b , c um vetor direção da reta.

Aqui podemos achar o ponto A bem simples, é só usar o ponto da origem A 0,0 , 0 , já que a reta passa por ele:

x = 0 + a t y = 0 + b t z = 0 + c t → x = a t y = b t z = c t

Passo 2

Agora precisamos então encontrar os valores a , b e c do vetor diretor v → = a , b , c da reta, vamos encontrar usando as informações do plano π e da reta r .

O vetor diretor v → da reta é simultaneamente ortogonal ao vetor normal do plano π e ao vetor diretor da reta r , podemos então encontrar vetor v → da seguinte forma, calculado o produto vetorial entre o vetor normal de π e o vetor diretor de r :

v → = n → × u →

Temos que o vetor normal é:

n → = 1 , - 1 , - 1

Falta encontrar o vetor diretor de r , para encontrar vamos expressar a reta na forma de equações reduzidas da reta:

r : x - x 1 a = y - y 1 b = z - z 1 c

Onde o ponto B x 1 , y 1 , z 1 é um ponto que passa pela reta, e o vetor u → = a , b , c é o vetor diretor.

Passo 3

Agora vamos pegar a expressão da reta e colocar y e z em função de x :

2 x = y = 3 z

2 x = y → y = 2 x

2 x = 3 z → z = 2 x 3

Pronto, agora precisamos encontrar dois pontos da reta para encontrar o vetor diretor, vamos fazer x = 0 e x = 3 :

Para x = 0 temos:

y = 2 x = 2 ⋅ 0 = 0

z = 2 x 3 = 2 ⋅ 0 3 = 0

E para x = 3 temos:

y = 2 x = 2 ⋅ 3 = 6

z = 2 x 3 = 2 ⋅ 3 3 = 2

Temos então os pontos B 0,0 , 0 e C 3,6 , 2 , agora vamos encontrar o vetor diretor da seguinte forma:

u → = B C → = C - B = 3,6 , 2 - 0,0 , 0 = 3,6 , 2

Passo 4

Assim temos que u → = 3,6 , 2 e temos o ponto B 0,0 , 0 , vamos então colocar a reta na forma de equação reduzida:

r : x - 0 3 = y - 0 6 = z - 0 2 → r : x 3 = y 6 = z 2

Agora que temos o vetor diretor podemos calcular o produto vetorial, vamos lá:

v → = n → × u → = i → j → k → 1 - 1 - 1 3 6 2 = i → j → k → 1 - 1 - 1 3 6 2         i → j → 1 - 1 3 6 = - 2 i → - 3 j → + 6 k → + 3 k → + 6 i → - 2 j → =

= 4 i → - 5 j → + 9 k →

Pronto, o vetor diretor da reta é:

v → = a , b , c = 4 , - 5,9

Passo 5

Agora é só substituir na equação da reta:

x = a t y = b t z = c t → x = 4 t y = - 5 t z = 9 t

Pronto, temos que a reta que passa pela origem e é ortogonal à reta r e paralela ao plano π é:

x = 4 t y = - 5 t z = 9 t

Resposta

x = 4 t y = - 5 t z = 9 t

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