Enunciado

Determinar uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e calcular P - 1 A P .

A = 0 0 2 0 - 1 0 2 0 0

Passo 1

O problema fornece uma matriz simétrica A e pede para encontrarmos uma matriz ortogonal de modo que P - 1 A P seja diaogonal.

Para isso, temos que lembrar que uma matriz simétrica é sempre diagonal e seus autovetores serão ortogonais entre si. Assim, a matriz de mudança de base P construída com os autovetores de A será ortogonal ( P t = P - 1 ). Desta forma, o que temos que fazer é encontrar os autovetores de A e normalizá-los para construir P !

O primeiro passo é encontrar os autovalores de A pela equação característica:

det ⁡ ( A - λ I ) = 0

Assim,

- λ 0 2 0 - 1 - λ 0 2 0 - λ = 0

Desenvolvendo o determinante com relação a primeira linha:

- λ ⋅ - 1 - λ - λ - 0 + 2 0 - 2 - 1 - λ = 0

Logo,

- λ 2 1 + λ + 4 1 + λ = 0 ⇒ λ + 1 4 - λ 2 = 0

Portanto, os autovalores são

λ 1 = - 2 ,   λ 2 = - 1   e   λ 3 = 2

Passo 2

Agora vamos procurar os autovetores:

A - λ I   v = 0

Para λ 1 = - 2 :

2 0 2 0 1 0 2 0 2 a b c = 0 0 0

Assim, tiramos que

b = 0             e           a + c = 0 ⇒ c = - a

Logo,

v 1 = a ,   b ,   c = a ,   0 ,   - a = a   ( 1 ,   0 ,   - 1 )

Para que ele seja normalizado, a = 1 / 2 :

v 1 = 1 2 , 0 ,   - 1 2

Já para o segundo autovalor λ 2 = - 1 :

1 0 2 0 0 0 2 0 1 a b c = 0 0 0

Portanto,

a = - 2 c         e         c = - 2 a ⇒ a = c = 0

Assim,

v 2 = a ,   b , c = 0 ,   b ,   0 = b   ( 0 ,   1 ,   0 )

Escolhendo b = 1 :

v 2 = ( 0 ,   1 ,   0 )

Por fim, para λ 3 = 2 :

- 2 0 2 0 - 3 0 2 0 - 2 a b c = 0 0 0

Daqui, obtemos

b = 0         e         c = a

Portanto,

v 3 = 1 2 ,   0 , 1 2

Passo 3

Agora que temos os autovetores, basta construir a matriz P com eles:

P = 1 2 0 1 2 0 1 0 - 1 2 0 1 2

Com essa matriz,

P - 1 A P = - 2 0 0 0 - 1 0 0 0 2

Resposta

P = 1 2 0 1 2 0 1 0 - 1 2 0 1 2

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