Enunciado

Prove que se A for uma matriz diagonalizável, então o posto de A é o número de autovalores não nulos de A.

Passo 1

Se A é uma matriz n × n diagonalizável, então existe uma matriz semelhante D que é composto apenas pelos autovalores de A da seguinte forma:

D = λ 1 0 0 0 0 λ 2 0 0 0 0 ⋱ 0 0 0 0 λ n

Então, todas as linhas de D são preenchidas em um ponto pelo autovalor e as demais colunas são preenchidas com zeros. Mas no caso de algum dos autovalores ser igual a zero, então toda a linha em que esse autovalor se encontra será uma linha preenchida inteiramente por zeros.

Sabemos que o Posto de uma matriz é igual ao número de linhas compostas não nulas, e as linhas não nulas serão aquelas cujo o autovalor é diferente de zero:

P o s t o D = n º   d e   ( λ ≠ 0 )

Contudo, A é uma matriz semelhante a matriz D. Na Tabela 1 da Seção 5.2, é afirmado que matrizes semelhantes possuem o mesmo Posto, então:

P o s t o A = P o s t o D = n º   d e   ( λ ≠ 0 )

Isso é o que queremos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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