Enunciado

Determinar n de modo que os planos π 1 e π 2 sejam perpendiculares:

b) π 1 : m x + y - 3 z - 1 = 0                                       e                                 π 2 : 2 x - 3 m y + 4 z + 1 = 0

Passo 1

A equação que relaciona o ângulo formado entre os planos é

cos ⁡ θ = | n 1 → . n 2 → | n 1 → . | n 2 → |

De acordo com as informações no enunciado temos o vetor normal de cada plano ( n 1 → é vetor normal da equação geral plano r 1 e n 2 → é o vetor normal da equação geral do plano r 2 ) e o ângulo formado entre eles. Sendo assim, podemos substituir os termos afim de encontrarmos m .

n 1 → = ( m , 1 , - 3 )

n 2 → = ( 2 - 3 m , 4 )

θ = 90 °

Substituindo n 1 → , n 2 →   e   θ .

cos ⁡ 90 = | n 1 → . n 2 → | n 1 → . | n 2 → |

0 = | ( m , 1 , - 3 ) . ( 2 - 3 m , 4 ) | ( m , 1 , - 3 ) . | ( 2 - 3 m , 4 ) |

n 1 → . n 2 → = ( m , 1 , - 3 ) . ( 2 , - 3 m , 4 ) = m . 2 + 1 . - 3 m + - 3 . 4 = 2 m - 3 m - 12

n 1 → = m ² + 1 2 + ( - 3 ) 2 = m 2 + 10

n 2 → = 2 2 + ( - 3 m ) 2 + 4 ² = 9 m 2 + 20

0 = 2 m - 3 m - 12 m 2 + 10 . 9 m 2 + 20

Agora vamos multiplicar cruzado e isolar m

2 m - 3 m - 12 = 0

- m - 12 = 0

m = - 12

Resposta

m = - 12

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