Enunciado

A altura e a mediana relativas ao vértice B do triângulo A B C estão contidas, respectivamente, em r : X = - 6 ,   0 ,   3 + λ ( 3 ,   2 ,   0 ) e s : X = 0 ,   0 ,   3 + λ ( 3 ,   - 2 ,   0 ) . Sendo C = ( 4 ,   - 1 ,   3 ) , determine A e B .

Passo 1

Pelos dados do exercício, temos algo parecido com isso:

Como tanto a altura como a mediana do triângulo são relativas ao vértice B , esse ponto vai ser a intersecção das duas retas beleza?

Passo 2

Trocando o parâmetro da reta s :

X = 0 ,   0 ,   3 + α ( 3 ,   - 2 ,   0 )

Então, encontrando um ponto genérico de cada reta:

r : P 1 = ( - 6 + 3 λ ,   2 λ ,   3 )

s : P 2 = ( 3 α ,   - 2 α ,   3 )

Para encontrar o ponto em comum entre as duas retas, vamos igualar as coordenadas:

- 6 + 3 λ = 3 α 2 λ = - 2 α 3 = 3

Da segunda equação, temos λ = - α , substituindo na primeira:

- 6 - 3 α = 3 α

6 α = - 6

α = - 1

Então λ = - - 1 = 1

Para encontrar o ponto B , que é a intersecção das retas, podemos substituir λ em P 1 ou α em P 2 (vai resultar no mesmo ponto hehe). Substituindo λ em P 1 :

B = ( - 3 ,   2 ,   3 )

Passo 3

Agora vamos encontrar o ponto A . Chamando A = ( a ,   b ,   c ) , vamos começar encontrando a reta A C beleza? Sabemos que ela passa pelo ponto C e que seu vetor diretor é:

A C → = C - A = ( 4 - a ,   - 1 - b ,   3 - c )

Então, a reta A C é:

A C : X = 4 ,   - 1 ,   3 + β . ( 4 - a ,   - 1 - b ,   3 - c )

Passo 4

Como a reta r é a altura do triângulo relativa ao vértice B , ela deve ser perpendicular à aresta A C , certo? Pois a altura do triângulo sempre é perpendicular.

Então, o vetor diretor de r deve ser perpendicular ao vetor diretor de A C , ou seja, o produto escalar entre eles deve ser 0:

3 ,   2 ,   0 . 4 - a ,   - 1 - b ,   3 - c = 0

12 - 3 a - 2 - 2 b = 0

3 a + 2 b = 10   ( I )

Vamos guardar essa equação e achar mais algo que nos ajude hahaha

Passo 5

O ponto M daquela figura no passo 1 é o ponto médio do segmento A C :

M = A + C 2

M = a ,   b ,   c + 4 ,   - 1 ,   3 2

M = a + 4 2 , b - 1 2 , c + 3 2

Mass, sabemos que esse ponto M passa pela reta s , que é a nossa mediana. Então, esse ponto M também pode ser escrito como aquele ponto genérico P 2 lá do passo 2:

M = ( 3 α ,   - 2 α ,   3 )

Passo 6

Igualando as duas equações de M :

a + 4 2 , b - 1 2 , c + 3 2 = ( 3 α ,   - 2 α ,   3 )

Igualando as coordenadas:

a + 4 2 = 3 α   ( I I ) b - 1 2 = - 2 α   ( I I I ) c + 3 2 = 3   ( I V )

Passo 7

Temos 4 equações com 4 incógnitas ( a ,   b ,   c e α ) . Podemos formar um sistema:

3 a + 2 b = 10   a 2 - 3 α = - 2 b 2 + 2 α = 1 2 c = 3

Resolvendo esse sistema, encontramos:

a = 8

b = - 7

c = 3

d = 2

Como chamamos o ponto A de A = ( a ,   b ,   c ) , temos:

A = ( 8 ,   - 7 ,   3 )

E é isso aí, encontramos o A e o B que queríamos hahaha

Então, o que temos no espaço é isso aqui:

A reta azul é r (a altura do triângulo), a reta laranja é s (a mediana) e a reta preta é A C , perpendicular à reta r .

Resposta

A = ( 8 ,   - 7 ,   3 )

B = ( - 3 ,   2 ,   3 )

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a) Obtenha uma equação geral do plano que contém o ponto ( 1 ,1 ,2 ) e é paralelo ao plano de equação x - y + 2 z + 1 = 0 b) O plano π contém P = ( 2 ,0 ,2 ) e é paralelo a π 1 : X = 2 ,5 ,0 + λ2 ,- 1
Decomponha o vetor u → = ( - 3 ,4 ,- 5 ) em duas parcelas, uma paralela e outra ortogonal ao plano de equação vetorial X = 1 ,- 2 ,0 + λ- 1 ,0 ,1 + μ( 0 ,0 ,- 1 ) .
Obtenha um vetor normal ao plano π em cada caso:a) π contém A = ( 1 ,1 ,1 ) , B = ( 1 ,0 ,1 ) e C = ( 1 ,2 ,3 ) .b) π : x - 2 y + 4 z + 1 = 0 .c) π : X = 1 ,2 ,0 + λ1 ,- 1 ,1 + μ( 0 ,1 ,- 2 ) .
O vetor ( 1 ,1 ,m ) é normal ao plano π , que contém a intersecção dos planos π 1 : x - y + z + 1 = 0 e O y z . Determine m e obtenha uma equação geral de π .
Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta r : X = 1 ,0 ,2 + λ( 4 ,1 ,0 ) e é perpendicular a π : 3 x + y + z = 0 .