Enunciado

Determinar o operador linear do R 2 cuja matriz em relação à base B = 1,2 , 0,5 é

3 1 2 - 1

Passo 1

Então. Antes de tudo, precisamos entender o que a questão pede, não é? E o que ela quer dizer exatamente com determinar o operador linear?

O que a questão quer mesmo é que determinemos a lei da nossa transformação. Por exemplo, seria dizer que F x , y = x + y , x - y . Queremos determinar algo do tipo, só que algo que se enquadre com a nossa base B e com a matriz de transformação:

F B = 3 1 2 - 1

Entenderam? Agora, vamos ter que buscar alguma forma de trabalhar com a base e com a matriz de transformação para obter a nossa lei.

Passo 2

Para obter o nosso operador, vamos lembrar da operação que deve ser feita para conseguirmos a matriz da transformação F B .

O procedimento é o seguinte: pegamos o primeiro vetor de B , aplicamos a sua transformação e escrevemos como combinação linear dos vetores de B . Os coeficientes desta combinação linear serão os coeficientes da primeira coluna de F B . Escrevendo matematicamente o que este parágrafo diz, é o seguinte:

F 1 , 2 = α 11 1 , 2 + α 21 0 , 5

F 1 , 2 = 3 1,2 + 2 0,5

F 1 , 2 = 3 , 6 + 0 , 10 = 3,16

Se fizermos o mesmo procedimento para o segundo vetor de B (e usar os valores da segunda coluna da matriz), temos:

F 0,5 = α 1 2 1,2 + α 2 2 0,5

F 0,5 = 1 1,2 - 1 0,5

F 0,5 = 1,2 + 0 , - 5 = 1 , - 3

Passo 3

Agora que obtivemos os valores da transformação para os vetores da base de B , vamos fazer o seguinte: vamos escrever um vetor x , y qualquer pertencente a R 2 como combinação linear da base B . Então,

x , y = α 1,2 + β 0,5

x , y = α , 2 α + 5 β

Comparando coordenada a coordenada, temos o seguinte sistema:

α = x 2 α + 5 β = y

Cuja solução é α = x e β = y - 2 x / 5 .

Passo 4

E para finalizarmos a questão, basta aplicarmos a transformação linear ao vetor x , y . Isto é:

F x , y

Só que nós não escrevemos x , y como combinação linear dos vetores 1,2 e 0,5 ? Então,

F x , y = F x 1,2 + y - 2 x 5 0,5

Utilizando as propriedades das transformações lineares, temos:

F x , y = F x 1,2 + F y - 2 x 5 0,5

F x , y = x F 1,2 + y - 2 x 5 F 0,5

E lá no Passo 2 nós não calculamos F 1,2 e F 0,5 ? Substituindo os seus valores,

F x , y = x 3,16 + y - 2 x 5 1 , - 3

F x , y = 3 x , 16 x + y - 2 x 5 , 6 x - 3 y 5

F x , y = 13 x + y 5 , 86 x - 3 y 5

E assim finalizamos nossa questão.

Resposta

F x , y = 13 x + y 5 , 86 x - 3 y 5

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Seja T : R 3 → R 3 a projeção ortogonal de R 3 sobre o plano x y . Mostre que T ∘ T = T .
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