Enunciado

Seja q 0 x um polinômio de grau m fixado e defina a função T de domínio P n pela fórmula T p x = p q 0 x . Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

Show de bola galera, temos um polinômio p ( x ) que pertence ao domínio P n , logo tem grau n . E temos um polinômio q 0 ( x ) de grau m . Nossa transformação T p x = p q 0 x pega esse polinômio q 0 de grau m e aplica no polinômio p ( x ) de grau n , ou seja, estamos pegando q 0 e elevando a n , aplicando ele em p ( x ) . Logo nossa imagem vai ser o espaço dos polinômios de grau m × n . Portanto a transformação é dada por T : P n → P m × n

Passo 2

E para verificarmos que é uma transformação linear, precisamos testar as duas propriedades

  1. T k v = k T ( v ) [Homogeneidade]
  2. T u + v = T u + T ( v ) [Aditividade]

Logo para (i), temos

T k p x = k p q 0 x = k T p x

E para (ii), temos

T p x + h ( x ) = p q 0 x + h q 0 x = T p x + T h x

Portanto a transformação é linear.

Resposta

Demonstração.

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Determinar o operador linear do R 2 cuja matriz em relação à base B = 1,2 , 0,5 é 3 1 2 - 1
No espaço vetorial M 2 R , seja M = a b c d Determinar a matriz do operador linear F ∈ L M 2 R dado por F X = M X - X M , em relação à base canônica 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 De M 2 R .
Determinar as matrizes das seguintes transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços: F ∈ L R 3 , R 2 definida por F x , y , z = x + y , z F ∈ L R 2 , R 3 definida por F
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