Enunciado

Seja T : R 3 → R 3 a projeção ortogonal de R 3 sobre o plano x y . Mostre que T ∘ T = T .

Passo 1

Beleza galera, como temos uma projeção ortogonal no plano x y , sabemos que esse plano é nossa imagem, já que todos os vetores serão projetados nele. E o vetor ortogonal é projetado inteiramente no plano, ou seja, vai ser levado no 0 , e esse vetor é o eixo z . Então podemos escrever nossa transformação

T x ,   y ,   z = ( x ,   y ,   0 )

Passo 2

Então temos que aplicar essa transformação dentro dela mesma, isto é

T ∘ T = T T x ,   y ,   z       e       T x ,   y ,   z = ( x ,   y ,   0 )

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T ∘ T = T x ,   y ,   0

E temos que aplicar a transformação T mais uma vez, só que agora em vez de usarmos ( x ,   y ,   z ) temos que aplicar em ( x ,   y ,   0 )

T x ,   y ,   0 = ( x ,   y ,   0 )

E é exatamente igual a uma única transformação T x ,   y ,   z = ( x ,   y ,   0 ) .

Resposta

Demonstração

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Sejam T 1 : P n → P n e T 2 : P n → P n os operadores lineares dados por T 1 p ( x ) = p ( x - 1 ) e T 2 p ( x ) = p ( x + 1 ) . Encontre ( T 1 ∘ T 2 ) ( p x ) e ( T 2 ∘ T 1 ) ( p x ) .
Use a definição de T 3 ∘ T 2 ∘ T 3 dada na Fórmula (3) para provar que T 3 ∘ T 2 ∘ T 3 é uma transformação linear. T 3 ∘ T 2 ∘ T 3 = ( T 3 ∘ T 2 ) ∘ T 3 . T 3 ∘ T 2 ∘ T 3 = T 3 ∘ ( T 2 ∘ T 3 )
Seja q 0 x um polinômio de grau m fixado e defina a função T de domínio P n pela fórmula T p x = p q 0 x . Mostre que T é uma transformação linear.
Em cada parte, seja T : R 2 → R 2 a multiplicação por A . Determine se T tem uma inversa; se tiver, encontre. T - 1 x 1 x 2 A = 5 2 2 1 A = 6 - 3 4 - 2 A = 4 7 - 1 3
Sejam T 1 : M 22 → R e T 2 : M 22 → M 22 as transformações lineares dadas por T 1 A = t r ( A ) e T 2 A = A T .Encontre T 1 ∘ T 2 A com A = a b c d .Você consegue encontrar T 2 ∘ T 1 A ? Explique.