Enunciado

2. Determinar a solução da equação diferencial que satisfaz as condições indicadas:

a) y ' ' + 2 y = 0                     y 0 = 2                     y ' 0 = 2 2 ;

b) 4 y ' ' - 12 y ' + 9 y = 0                     y 0 = 1                     y ' 0 = 7 2 ;

c) y ' ' - 3 y ' + 2 y = 0                     y 0 = 3                     y ' 0 = 2 .

Passo 1

a) Vamos achar as raízes do polinômio característico:

x 2 + 2 = 0

Fazemos bhaskara, nee, então:

x 1 = 2 i

x 2 = - 2 i

Passo 2

Como temos raízes complexas do tipo:

x 1 = a + b i

x 2 = a - b i

A solução geral vai ser:

y t = e a t k 1 cos ⁡ b t + k 2 s e n   b t

Então a nossa solução geral:

y t = e 0 t k 1 cos ⁡ 2 t + k 2 s e n   2 t

y t = k 1 cos ⁡ 2 t + k 2 s e n   2 t

Passo 3

Vamos derivar uma vez:

y ' t = - k 1 2   s e n   2 t + k 2 2 cos ⁡ 2 t

Aplicando a primeira condição inicial:

y 0 = k 1 cos ⁡ 2 0 + k 2 s e n   2 0

2 = k 1 0 + k 2 0

k 1 = 2

E a outra condição:

y ' 0 = - 2 2   s e n   2 0 + k 2 2 cos ⁡ 2 0

2 2 = k 2 2 1

k 2 = 2

Então a solução vai ser:

y t = 2 cos ⁡ 2 t + 2 s e n   2 t

Resposta

y t = 2 cos ⁡ 2 t + 2 s e n   2 t

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