Enunciado

Em cada um dos problemas 23 e 24, determine os valores de α , se existirem, para os quais todas as soluções tendem a zero quando t → ∞ ; determine, também, os valores de α , se existirem, para os quais todas as soluções (não nulas) tornam=se ilimitadas quando t → ∞ .

y ' ' + 3 - α y ' + 2 α - 1 y = 0

Passo 1

Para resolvermos esse problema iremos analisar cada tipo de EDO e escolher o melhor método para resolvermos a mesma. Após isso, vamos aplicar esse método nos atentando com os casos complicados que podem aparecer. Vamos resolver juntos!!

Passo 2

Bom, como para esse capítulo vamos apenas cair no caso onde a nossa equação característica é dada por r 1 ≠ r 2 , temos que haverá duas soluções para nossa equação. Supondo então que nossa solução é dada por y = e r ⋅ t , temos que nossa solução geral será

y = c 1 ⋅ e r 1 ⋅ t + c 2 ⋅ e r 2 ⋅ t e

y ' = c 1 ⋅ r 1 ⋅ e r 1 t + c 2 ⋅ r 2 ⋅ e r 2 t  

Ficando com y ' = r ⋅ e r ⋅ t e y ' ' = r 2 ⋅ e r ⋅ t . Substituindo em nossa EDO, temos que

r 2 + 3 - α r + 2 α - 1 ⋅ e r ⋅ t = 0

r 2 + 3 - α r + 2 α - 1 = 0

Caimos em uma equação de segundo grau. Resolvendo pelo método de Bhaskara, chegamos que

r = - b ± b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c 2 ⋅ a = - ( 3 - α ) ± α - 14 + 8 2 2 ⋅ α - 14 - 8 2 2 2

Tendo como raízes

r 1 = - 3 - α + α - 14 + 8 2 2 ⋅ α - 14 - 8 2 2 2 e r 2 = - 3 - α - α - 14 + 8 2 2 ⋅ α - 14 - 8 2 2 2   .

Assim, temos que nossa solução geral para a EDO dada é

y = c 1 ⋅ e - 3 - α + α - 14 + 8 2 2 ⋅ α - 14 - 8 2 2 2 t + c 2 ⋅ e - 3 - α - α - 14 + 8 2 2 ⋅ α - 14 - 8 2 2 2 t

Passo 3

Para que essa equação tenda a 0 quando t → ∞ , precisamos que os dois expoentes das exponenciais sejam negativos. Ou seja, temos que as raízes quadradas precisam ser 0, assim temos que α = 14 - 8 2 2 . Para que tenda ao infinito, temos que o único valor possível é α = 14 + 8 2 2 , assim ficamos com ambas as exponenciais positivas.

Resposta

α = 14 - 8 2 2   y → 0 ,     α = 14 + 8 2 2   y → ∞

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