Em cada um dos problemas 23 e 24, determine os valores de alpha , se existirem, para os quais todas as soluções tendem a zero quando t -> infinito ; determine, também, os valores de alpha , se existirem, para os quais todas as soluções (não nulas) tornam=se ilimitadas quando t -> infinito .

y'' + (3 - alpha)y' + 2(alpha - 1)y = 0

Passo 1

Para resolvermos esse problema iremos analisar cada tipo de EDO e escolher o melhor método para resolvermos a mesma. Após isso, vamos aplicar esse método nos atentando com os casos complicados que podem aparecer. Vamos resolver juntos!!

Passo 2

Bom, como para esse capítulo vamos apenas cair no caso onde a nossa equação característica é dada por r 1 ≠ r 2 , temos que haverá duas soluções para nossa equação. Supondo então que nossa solução é dada por y = e r ⋅ t , temos que nossa solução geral será

y = c 1 ⋅ e r 1 ⋅ t + c 2 ⋅ e r 2 ⋅ t e

y ' = c 1 ⋅ r 1 ⋅ e r 1 t + c 2 ⋅ r 2 ⋅ e r 2 t  

Ficando com y ' = r ⋅ e r ⋅ t e y ' ' = r 2 ⋅ e r ⋅ t . Substituindo em nossa EDO, temos que

r 2 + 3 - α r + 2 α - 1 ⋅ e r ⋅ t = 0

r 2 + 3 - α r + 2 α - 1 = 0

Caimos em uma equação de segundo grau. Resolvendo pelo método de Bhaskara, chegamos que

r = - b ± b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c 2 ⋅ a = - ( 3 - α ) ± 3 - α 2 - 4 · 2 · α - 1 2

r = α - 3 ± 9 - 6 a + a 2 - 8 a + 8 2

r = α - 3 ± 17 - 14 a + a 2 2

Dessa forma, temos duas raízes:

r 1 = α - 3 - 17 - 14 a + a 2 2 ,     r 2 = α - 3 + 17 - 14 a + a 2 2

Logo, a solução é:

y = c 1 ⋅ e α - 3 - 17 - 14 a + a 2 2 t + c 2 ⋅ e α - 3 + 17 - 14 a + a 2 2 t

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora, teoria rápida:- Se ambas as partes reais de  r 1 , r 2  forem negativas, toda solução tende a zero.- Se ambas as partes reais forem positivas, toda solução não-nula explode.

Logo, precisamos que as raízes satisfaçam as seguintes condições:

  • r 1 + r 2 < 0
  • r 1 r 2 > 0

Para a primeira condi�o, temos:

r 1 + r 2 < 0

α - 3 - 17 - 14 a + a 2 2 + α - 3 + 17 - 14 a + a 2 2 < 0

a - 3 2 + a - 3 2 < 0

a - 3 < 0

a < 3

Para a segunda condição, temos:

α - 3 - 17 - 14 a + a 2 2 · α - 3 + 17 - 14 a + a 2 2 > 0

α - 3 - 17 - 14 a + a 2 α - 3 + 17 - 14 a + a 2 > 0

a - 3 2 - 17 - 14 a + a 2 2 > 0

17 - 14 a + a 2 2 > 3 - a 2

17 - 14 a + a 2 > 9 - 6 a + a 2

8 - 8 a > 0

a > 1

Então as soluções tendem a 0 apenas se

1 < a < 3

Passo 4

Por fim, temos que calcular o valor de a para que todas as soluções não nulas se tornem limitadas.

Isso acontece quando r 1 + r 2 > 0 e r 1 r 2 > 0

Já sabemos que r 1 r 2 > 0 implica em a > 1 e r 1 + r 2 < 0 implica em a < 3 , logo, basta invertermos o sinal da inequação.

Assim, o valor que satisfaz as duas condições é:

a > 3

Resposta

1) Todas as soluções tendem a zero se, e somente se,

1 < a < 3

2) Todas as soluções não-nulas tornam-se ilimitadas se, e somente se,

a > 3

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