Em cada um dos problemas 23 e 24, determine os valores de , se existirem, para os quais todas as soluções tendem a zero quando ; determine, também, os valores de , se existirem, para os quais todas as soluções (não nulas) tornam=se ilimitadas quando .
Passo 1
Para resolvermos esse problema iremos analisar cada tipo de EDO e escolher o melhor método para resolvermos a mesma. Após isso, vamos aplicar esse método nos atentando com os casos complicados que podem aparecer. Vamos resolver juntos!!
Passo 2
Bom, como para esse capítulo vamos apenas cair no caso onde a nossa equação característica é dada por , temos que haverá duas soluções para nossa equação. Supondo então que nossa solução é dada por , temos que nossa solução geral será
e
Ficando com e . Substituindo em nossa EDO, temos que
Caimos em uma equação de segundo grau. Resolvendo pelo método de Bhaskara, chegamos que
Dessa forma, temos duas raízes:
Logo, a solução é:
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora, teoria rápida:- Se ambas as partes reais de , forem negativas, toda solução tende a zero.- Se ambas as partes reais forem positivas, toda solução não-nula explode.
Logo, precisamos que as raízes satisfaçam as seguintes condições:
Para a primeira condi�o, temos:
Para a segunda condição, temos:
Então as soluções tendem a apenas se
Passo 4
Por fim, temos que calcular o valor de para que todas as soluções não nulas se tornem limitadas.
Isso acontece quando e
Já sabemos que implica em e implica em , logo, basta invertermos o sinal da inequação.
Assim, o valor que satisfaz as duas condições é:
Resposta
1) Todas as soluções tendem a zero se, e somente se,
2) Todas as soluções não-nulas tornam-se ilimitadas se, e somente se,