Enunciado

Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear:

T :   R 2 → R 2 ,   T x ,   y = ( 5 x - y ,   x + 3 y )

Passo 1

Pessoal, pra calcular vetores e valores próprios de uma transformação, o primeiro passo é escrever a matriz da forma canônica. A gente monta essa matriz pegando as componentes da transformação e botando nas linhas da matriz, com os coeficientes de x , y e z nas colunas. A matriz da nossa transformação é:

M = 5 - 1 1   3

Em seguida, a gente usa o fato de que M v = λ v . Arrumando, a equação, vamos obter:

M v = λ v

M - λ I v = 0

det ⁡ M - λ I = 0

Então é isso, pra achar os valores próprios a gente vai encontrar os valores de λ nessa equação. Por fim, a gente usa que M v = λ v de novo, pra encontrar os vetores próprios.

Passo 2

Bora pra conta!

det ⁡ M - λ I = 5 - λ - 1 1 3 - λ

5 - λ - 1 1 3 - λ = 0

5 - λ 3 - λ + 1 = 0

λ 2 - 8 λ + 15 + 1 = 0

λ 2 - 8 λ + 16 = 0

λ - 4 2 = 0

λ = 4

Só encontramos um valor, mas não tem problema! Esse é o nosso valor próprio. Só tem um detalhe: quando a gente encontra dois valores iguais, a gente diz que temos dois valores próprios iguais a 4 , mas só vamos ter um vetor próprio mesmo, beleza?

Passo 3

Agora vamos encontrar o vetor próprio: é só a gente substituir o valor de λ que encontramos na equação M - λ I v = 0 .

λ = 4 :

M - 4 I v = 5 - 4 - 1 1 3 - 4 x y = 0 0

1 - 1 1 - 1 x y = 0 0

Multiplicando vamos obter essa equação:

x - y = 0

x = y

Então, os vetores v = y ,   y = y ( 1 ,   1 ) são os vetores próprios associados a λ = 4 .

Resposta

λ 1 = 4 ,   λ 2 = 4 : v 4 = ( y ,   y )

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