Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz:

A = 2 1 3 4

Passo 1

Pra encontrar os valores próprios e os vetores próprios vamos usar aquela fórmula que diz que A v = λ v . Arrumando, a equação, vamos obter:

A v = λ v

A - λ I v = 0

det ⁡ A - λ I = 0

Então é isso, pra achar os valores próprios a gente vai encontrar os valores de λ nessa equação. Por fim, a gente usa que M v = λ v de novo, pra encontrar os vetores próprios.

Passo 2

Bora pra conta!

det ⁡ A - λ I = 2 - λ 1 3 4 - λ

2 - λ 1 3 4 - λ = 0

2 - λ 4 - λ - 3 = 0

λ 2 - 6 λ + 8 - 3 = 0

λ 2 - 6 λ + 5 = 0

λ - 5 λ - 1 = 0

Resolvendo, vamos encontrar nossos dois valores próprios, λ 1 = 5 e λ 2 = 1 .

Passo 3

Agora vamos encontrar os vetores próprios: é só a gente substituir o valor de λ que encontramos na equação A - λ I v = 0 . Primeiro vamos botar λ = 5 :

A - 5 I v = 2 - 5 1 3 4 - 5 x y = 0 0

- 3 1 3 - 1 x y = 0 0

Multiplicando, vamos obter:

3 x - y = 0

y = 3 x

Então o vetor próprio de λ = 5 é da forma v = ( x ,   3 x ) .

Agora vamos ver λ = 1 :

A - I v = 2 - 1 1 3 4 - 1 x y = 0 0

1 1 3 3 x y = 0 0

Multiplicando, vamos obter:

x + y = 0

y = - x

Então o vetor próprio de λ = 1 é da forma v = ( x ,   - x ) .

Resposta

λ 1 = 5 : v = x ,   3 x

λ 2 = 1 : v = ( x ,   - x )

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte
Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação
Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação
Quais são os valores próprios e os vetores próprios da matriz identida
Determinar as matrizes das rotações em R 2 que admitem valores e vetor