Enunciado

Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear:

T :   R 2 → R 2 ,   T x ,   y = ( y ,   - x )

Passo 1

Se liga, pra calcular vetores e valores próprios de uma transformação, o primeiro passo é escrever a matriz da forma canônica. A gente monta essa matriz pegando as componentes da transformação e botando nas linhas da matriz, com os coeficientes de x , y e z nas colunas. A matriz da nossa transformação é:

M =   0 1 - 1 0

Em seguida, a gente usa o fato de que M v = λ v . Arrumando, a equação, vamos obter:

M v = λ v

M - λ I v = 0

det ⁡ M - λ I = 0

Então é isso, pra achar os valores próprios a gente vai encontrar os valores de λ nessa equação. Por fim, a gente usa que M v = λ v de novo, pra encontrar os vetores próprios.

Passo 2

Bora pra conta!

det ⁡ M - λ I = 0 - λ 1 - 1 0 - λ

0 - λ 1 - 1 0 - λ = 0

0 - λ 0 - λ + 1 = 0

λ 2 + 1 = 0

λ 2 = - 1

Ih, galera, um quadrado dando um número negativo? Pode isso, Arnaldo? Poder, pode! Mas só pra transformações com números complexos. A nossa aqui é só nos reais, então não vai poder não. Por isso, a gente vai dizer que não existem valores próprios nem vetores próprios.

Resposta

Não existem.

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