Enunciado

Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P - 1 A P .

A = 3 0 - 2 - 5 1 5 2 0 - 1

Passo 1

O problema fornece uma matriz A e pede para verificar se ela é diagonalizável ou não. Se ela for, temos que encontrar a matriz P de modo que P - 1 A P seja diagonal.

Basicamente, o que temos que fazer é encontrar os autovalores de A e seus autovetores associados. Se os autovetores formarem uma base, então a matriz será diagonalizável! Neste caso, as colunas da matriz P são as componentes dos autovetores.

já primeira coisa que você tem que tentar fazer é achar os autovalores resolvendo a equação característica:

det ⁡ A - λ I = 0

Assim,

3 - λ 0 - 2 - 5 1 - λ 5 2 0 - 1 - λ = 0

Desenvolvendo o determinante com relação a segunda coluna:

- 1 - λ ⋅ 3 - λ - 1 - λ + 4 = 0

Portanto,

λ - 1 - 3 - 3 λ + λ + λ 2 + 4 = 0 ⇒ λ - 1 λ 2 - 2 λ + 1 = 0 ⇒ λ - 1 3 = 0

Portanto, o único autovalor será

λ 1 = 1   m u l t i p l i c i d a d e   3

Assim, para que a matriz seja diagonalizável, a dimensão do autoespaço associado a esse autovalor deve ser 3 .

Passo 2

A equação para determinarmos os autovetores é

A - λ I a b c = 0 0 0

Usando λ = 1 :

2 0 - 2 - 5 0 5 2 0 - 2 a b c = 0 0 0

As três equações são equivalentes e tiramos que

a - c = 0 ⇒ c = a

Assim,

a ,   b ,   c = a ,   b ,   a = a   1 ,   0 ,   1 + b   ( 0 ,   1 ,   0 )

Desta forma, vemos que o autoespaço associado ao autovalor λ = 1 é gerado pelo conjunto B = { 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0 } . Sendo assim, sua dimensão é dois. Portanto, A não é diagonalizável!

Resposta

A não é diagonalizável

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