Enunciado

Determinar o vetor vec x tal que vec x . (1 , 4 , - 3) = - 7 e vec x xx (4 , - 2 , 1) = ( 3 , 5 , - 2 ) .

Passo 1

Vamos chamar vec x = ( a , b , c ) ok?? Temos, da primeira condição:

vec x . (1 , 4 , - 3) = - 7

(a , b , c) . (1 , 4 , - 3) = - 7

a + 4 b - 3 c = - 7 ( I )

Belezinha, vamos guardar essa expressão e vamos pra nossa segunda condição ;)

Passo 2

Agora queremos que vec x xx (4 , - 2 , 1) = ( 3 , 5 , - 2 ) . O produto vetorial ( a , b , c ) xx ( 4 , - 2 , 1 ) é dado pelo determinante:

(a , b , c) xx (4 , - 2 , 1) = |[[vec i,vec j,vec k],[a,b,c],[4,-,2,1]]|

Calculando esse produto vetorial, temos

(a , b , c) xx (4 , - 2 , 1) = (b + 2 c) vec i + (4 c - a) vec j + ( - 2 a - 4 b ) vec k

Então:

(a , b , c) xx (4 , - 2 , 1) = ( b + 2 c , 4 c - a , - 2 a - 4 b )

Mas queremos que esse produto vetorial seja igual a ( 3 , 5 , - 2 ) , então

(b + 2 c , 4 c - a , - 2 a - 4 b) = ( 3 , 5 , - 2 )

Igualando as coordenadas, temos

{[[b + 2 c = 3],[4 c - a = 5],[- 2 a - 4 b = - 2]] ( I I ))

Passo 3

Acrescentando a equação ( I ) no sistema ( I I ) , temos que nosso vetor tem que satisfazer que:

{[[b + 2 c = 3],[- a + 4 c = 5],[- 2 a - 4 b = - 2],[a + 4 b - 3 c = - 7]])

Resolvendo esse sistema, encontramos

a = 3

b = - 1

c = 2

Então, podemos dizer que o vetor vec x que procuramos é vec x = (a , b , c) = ( 3 , - 1 , 2 )

Resposta

( 3 , - 1 , 2 )

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Sejam B = ( i → , j → , k → ) uma base ortonormal positiva e * uma operação interna em V 3 que satisfaz as propriedades u → * v → + w → = u → * v → + u → * w → u → + v → * w → = u → * w → + v → * w →
Resolva os sistemas:(a) {[[vec x ^^ (vec i - vec k) = vec j],[vec x + vec y = vec i + vec j]])
Resolva os sistemas:(b) {[[vec x . (2 vec i + 3 vec j + 4 vec k) = 9],[vec x ^^ (- vec i + vec j - vec k) = - 2 vec i + 2 vec k]])
(a) Prove que, se u → é unitário, então u → ∧ v → ∧ u → = v → - p r o j u → v → , qualquer que seja v → . O duplo produto u → ∧ v → ∧ u → é, portanto, o vetor q → mencionado em [9-9].
(a) Mostre que u → i j ∧ v → i j = D a b K → , u → i k ∧ v → i k = - D a c J → , u → j k ∧ v → j k = D b c I → , e, consequentemente S Ω i j = D a b ,S Ω i k = D a ceS Ω j k = D b c .