Enunciado

Sejam B = ( i → , j → , k → ) uma base ortonormal positiva e * uma operação interna em V 3 que satisfaz as propriedades

u → * v → + w → = u → * v → + u → * w →

u → + v → * w → = u → * w → + v → * w →

λ u → * v → = λ u → * v → = u → * ( λ v → )

Supondo que

prove que * = ∧ , isto é u → * v → = u → ∧ v → , quaisquer que sejam u → e v → .

Passo 1

Bora lá!

Para começarmos a resolução vamos ver o que a questão nos dá, beleza?

É dada uma operação interna que satisfaz as seguintes propriedades:

u → * v → + w → = u → * v → + u → * w →

u → + v → * w → = u → * w → + v → * w →

λ u → * v → = λ u → * v → = u → * ( λ v → )

E ainda, que para os vetores da base canônica, temos os seguintes resultados:

Passo 2

Se nós observarmos os resultados obtidos para a base canônica, percebemos que de fato a operação apresenta os mesmos resultados do produto vetorial. Mas só isso não basta, vamos provar de maneira algébrica que as relações são válidas para qualquer vetor?

Passo 3

Tomando os vetores como:

u → = u x i → + u y j → + u z k →

v → = v x i → + v y j → + v z k →

w → = w x i → + w y j → + w z k →

Substituindo nas propriedades da operação interna, temos:

u → * v → + w → = u x i → + u y j → + u z k → * v x + w x i → + v y + w y j → + v z + w z k →

                                    = u x i → + u y j → + u z k → * v x i → + v y j → + v z k → + w x i → + w y j → + w z k →

  = u x i → + u y j → + u z k → * v x i → + v y j → + v z k → ) + u x i → + u y j → + u z k → * w x i → + w y j → + w z k →

= u → * v → + u → * w →                                                                                                                                        

u → + v → * w → = u x + v x i → + u y + v y j → + u z + v z k → * w x i → + w y j → + w z k →

                        = ( u x i → + u y j → + u z k → + v x i → + v y j → + v z k → + w x i → + w y j → + w z k →

= u → * w → + v → * w →                                                                                                                                        

                    λ u → * v → = λ u x i → + λ u y j → + λ u z k → * v x i → + v y j → + v z k →                                                                                

= λ u x i → + u y j → + u z k → * v x i → + v y j → + v z k →                                    

= λ u → * v →                                                                                                                                                            

= u x i → + u y j → + u z k → * λ v x i → + v y j → + v z k →                                    

= u → * λ v →                                                                                                                                                            

Ufa! Chega de contas.

Qual é a conclusão que podemos tirar?

Se liguem, como para as bases ortonormais a operação definida é um produto vetorial e as demais propriedades do problemas são válidas para o produto vetorial, pode concluir que existe uma identidade entre as operações, que é exatamente o que queríamos provar 😉.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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