Enunciado

Determine a equação geral do plano que contém o ponto e a reta dados:

A 1,2 , 1   e a reta interseção do plano π : x - 2 y + z - 3 = 0 com o plano y O z .

Passo 1

E aí tudo joia?

Precisamos encontrar um vetor normal ao plano pra escrever a equação geral dele.

Primeiro vamos olhar pra nossa reta. A gente tem que a reta tá na interseção de:

x - 2 y + z - 3 = 0

p l a n o   y O z

O plano y O z tem equação sendo x = 0 . Então a interseção dessa reta é:

0 - 2 y + z - 3 = 0

z = 2 y + 3

Beleza, vamos partir daí...

Passo 2

Dessa última relação que a gente achou, vamos tirar uns pontos, fazendo y = 0   e   y = 1 :

B 0,0 , 3   e   C ( 0,1 , 5 )

Agora a gente vai montar os vetores A B → e A C → :

A B → = ( - 1 , - 2,2 )

A C → = ( - 1 , - 1,4 )

Esses dois vetores são paralelos ao nosso plano, beleza? Vamos seguir na busca de um normal...

Passo 3

Pra achar um vetor normal, a gente vai fazer o produto vetorial entre os vetores paralelos:

det ⁡ i → j → k → - 1 - 2 2 - 1 - 1 4 = i → - 2 2 - 1 4 - j → - 1 2 - 1 4 + k → - 1 - 2 - 1 - 1

= - 6 i → + 2 j → - 1 k →

Temos um vetor normal então que é o ( - 6,2 , - 1 ) .

Nosso plano então é da forma:

- 6 x + 2 y - z + d = 0

Passo 4

Vamos achar esse d agora jogando o ponto A ( 1,2 , 1 ) nessa expressão do plano:

- 6 1 + 2 2 - 1 + d = 0

- 6 + 4 - 1 + d = 0

d = 3

O nosso plano então é:

- 6 x + 2 y - z + 3 = 0

6 x - 2 y + z - 3 = 0

E prontinho! Finalmente encontramos nosso plano😉

Resposta

6 x - 2 y + z - 3 = 0

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →