Enunciado

Determine a equação geral do plano que contém o ponto e a reta dados:

A 1 , - 1 , 2   e o eixo dos z .

Passo 1

E aí tudo joia?

Precisamos encontrar um vetor normal ao plano pra escrever a equação geral dele.

O eixo z tem coordenadas x   e   y iguais a zero.

Então a gente pode pegar uns pontos como:

B 0,0 , 1   e     C ( 0,0 , 2 )

Que já pertencem a nossa reta!

Vamos seguir...

Passo 2

Vamos calcular os vetores agora:

A B → = ( - 1,1 , 0 )

A C → = - 1,1 , 1

Esses dois vetores são paralelos ao nosso plano.

Pra achar um vetor normal, a gente vai fazer o produto vetorial entre os vetores paralelos:

det ⁡ i → j → k → - 1 1 0 - 1 1 1 = i → 1 0 1 1 - j → - 1 0 - 1 1 + k → - 1 2 - 1 2

= 1 i → + 1 j → + 0 k →

Temos um vetor normal então que é o ( 1,1 , 0 ) .

Nosso plano então é da forma:

x + y + d = 0

Passo 3

Vamos achar esse d agora jogando o ponto A ( 1 , - 1,2 ) nessa expressão do plano:

1 - 1 + d = 0

d = 0

O nosso plano então é:

x + y = 0

E prontinho! Finalmente encontramos nosso plano😉

Resposta

x + y = 0

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