Enunciado

  1. Determine a equação do plano π 1 que passa por A = (10/3, 1, -1), B = (1, 9/2, -1) e C = (1, -1, 5/6).

Passo 1

Com base nos pontos dados, podemos achar dois vetores relacionados ao plano:

A B → = 1 - 10 3 , 9 2 - 1 ,   - 1 + 1 = ( - 7 3 , 7 2 ,   0 )

A C → = 1 - 10 3 , - 1 - 1 , 5 6 + 1 = ( - 7 3 , - 2 , 11 6 )

Passo 2

Calculando o produto vetorial, de forma a encontrar somente um vetor referente ao plano:

V =   A B → × A C →

V = det i j k - 7 3 7 2 0 - 7 3 - 2 11 6

Realizando a conta do determinante:

V = ( 77 12 , 77 18 , 77 6 )

Passo 3

Assim, temos que a equação do plano pode ser dada por:

77 12 x + 77 18 y + 77 6 z + d = 0

Para descobrirmos o valor de d, podemos substituir o ponto A na equação tal que:

(10/3, 1, -1)

77 12 ( 10 3 ) + 77 18 ( 1 ) + 77 6 ( - 1 ) + d = 0

385 18 + 77 18 - 77 6 + d = 0

d = - 77 6

Substituindo o valor de d:

77 12 x + 77 18 y + 77 6 z - 77 6 = 0

Simplificando a equação, podemos multiplica-la por 36 77 , sendo 36 o mínimo múltiplo comum de 12, 18 e 6:

3 x + 2 y + 6 z - 6 = 0

Resposta

3 x + 2 y + 6 z - 6 = 0

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